背包九讲：破译动态规划，尽享解题快感

闲谈

2024-01-07 04:26:07

欢迎踏入背包问题的解题殿堂，在本文中，我们将深入探讨这个经典动态规划难题的九种解法，为您提供全面的解析。准备好迎接一场智力与算法交织的精彩盛宴吧！

背包问题的概述

背包问题本质上是一个优化问题，它涉及到在有限的容量下，从一组物品中选择价值最高的物品。这些物品具有不同的重量和价值，而背包的容量限制了我们可以选择的物品数量。背包问题的变种有很多，包括 01 背包、完全背包和多重背包。

01 背包问题

在 01 背包问题中，每个物品只能选择一次，要么选，要么不选。它可以表示为一个动态规划问题，其中状态表示当前物品和剩余容量，而决策是选择或不选择当前物品。

完全背包问题

在完全背包问题中，每个物品可以选择任意多次。它也可用动态规划求解，但状态需要扩展为包括当前物品和剩余容量的组合。

多重背包问题

在多重背包问题中，每个物品有固定的数量，我们可以选择不同数量的每个物品。它可以分解为多个完全背包问题求解。

算法步骤

对于 01 背包和完全背包问题，动态规划算法的步骤如下：

定义状态表示当前物品和剩余容量。
初始化状态为 0。
对于每个物品和剩余容量，决策是选择或不选择当前物品。
计算选择或不选择当前物品的价值，并更新状态。
选择具有最大价值的状态。

示例代码

以下是 C++ 中 01 背包问题的示例代码：

int main() {
  int n, W;
  cin >> n >> W;
  vector<int> values(n), weights(n);
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    cin >> values[i] >> weights[i];
  }
  vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(W + 1, 0));
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= W; j++) {
      if (weights[i - 1] <= j) {
        dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], values[i - 1] + dp[i - 1][j - weights[i - 1]]);
      } else {
        dp[i][j] = dp[i - 1][j];
      }
    }
  }
  cout << dp[n][W] << endl;
  return 0;
}