最长回文串：动态规划思想的魅力

见解分享

2024-02-01 22:32:50

最长回文串：从简单到复杂，轻松理解动态规划思想

Einleitung

在浩瀚的编程世界中，算法与数据结构是两座巍然耸立的高峰。算法，宛若一把利刃，斩断编程难题的重重迷雾；数据结构，犹如一个井然有序的宝库，收纳着纷繁复杂的数据。本次，我们将聚焦于一道经典算法题——最长回文串，踏上一次算法与数据结构的探索之旅。

算法与数据结构：理解问题的关键

算法是解决问题的步骤和方法，而数据结构则是组织和存储数据的抽象方式。在解决算法题时，首先需要理解算法的基本思想，其次是选择合适的数据结构来存储和处理数据。

最长回文串问题要求我们找出给定字符串中最长的回文子串。回文子串是指从左向右读和从右向左读都一样的子串，例如："abba"和"level"都是回文子串。

动态规划：从子问题到整体解决方案

最长回文串问题可以利用动态规划算法求解。动态规划是一种自底向上的算法范式，它将复杂问题分解成一系列子问题，逐个求解，并将子问题的解存储起来，避免重复计算。

具体而言，我们可以定义一个二维布尔数组 dp，其中 dp[i][j] 表示字符串 s 中从第 i 个字符到第 j 个字符构成的子串是否是回文串。对于字符串 s 的任意两个字符 i 和 j，有如下递归关系：

dp[i][j] = true  当且仅当 s[i] = s[j] 且 (j - i <= 2 或 dp[i+1][j-1] = true)

其中：

s[i] 和 s[j] 分别表示字符串 s 中第 i 个和第 j 个字符
j - i <= 2 表示子串长度为 1 或 2，此时显然是回文串
dp[i+1][j-1] = true 表示子串从第 i+1 个字符到第 j-1 个字符是回文串

算法实现：从理论到实践

根据上述递归关系，我们可以设计出最长回文串问题的动态规划算法实现：

def longestPalindrome(s):
    n = len(s)
    dp = [[False] * n for _ in range(n)]

    # 初始化对角线上的元素为 True
    for i in range(n):
        dp[i][i] = True

    # 逐层递增子串长度，从长度为 2 开始
    for l in range(2, n + 1):
        for i in range(n - l + 1):
            j = i + l - 1
            if s[i] == s[j] and (l <= 3 or dp[i+1][j-1]):
                dp[i][j] = True

    # 找出最长回文子串的起始位置和长度
    max_len = 0
    start = 0
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if dp[i][j] and j - i + 1 > max_len:
                max_len = j - i + 1
                start = i

    return s[start:start+max_len]