如何快速找到两个正序数组的中位数

2023-11-09 00:50:55

前言

在计算机科学领域，找到两个已排序数组的中位数是一个常见的问题。中位数是将两个数组中的所有元素按升序排列后，位于中间位置的元素。如果两个数组的长度为偶数，则中位数是这两个中间元素的平均值。如果两个数组的长度为奇数，则中位数是位于中间位置的唯一元素。

算法选择

有多种算法可以用于找到两个已排序数组的中位数。最简单的方法是将两个数组合并成一个数组，然后对合并后的数组进行排序，最后找到中位数。但是，这种方法的复杂度是 O(m + n)，其中 m 和 n 是两个数组的长度。

更有效的方法是使用二分查找算法。二分查找算法的复杂度是 O(log(m + n))。二分查找算法的基本思想是将两个数组的中间元素进行比较。如果两个中间元素相等，则中位数就是这两个元素。如果两个中间元素不等，则将较小的中间元素及其所在数组的一半丢弃，并继续比较剩余元素的中间元素。

实现细节

使用二分查找算法找到两个已排序数组的中位数的具体步骤如下：

将两个数组的中间元素进行比较。
如果两个中间元素相等，则中位数就是这两个元素。
如果两个中间元素不等，则将较小的中间元素及其所在数组的一半丢弃。
重复步骤 1-3，直到剩下一个元素或两个元素。
如果剩下一个元素，则中位数就是这个元素。
如果剩下两个元素，则中位数是这两个元素的平均值。

代码示例

以下是用 Python 实现的二分查找算法代码：

def find_median(nums1, nums2):
  """
  找到两个已排序数组的中位数。

  参数：
    nums1：第一个数组。
    nums2：第二个数组。

  返回：
    中位数。
  """

  # 合并两个数组。
  merged_nums = nums1 + nums2

  # 对合并后的数组进行排序。
  merged_nums.sort()

  # 计算中位数。
  n = len(merged_nums)
  if n % 2 == 0:
    # 如果长度为偶数，则中位数是两个中间元素的平均值。
    median = (merged_nums[n // 2 - 1] + merged_nums[n // 2]) / 2
  else:
    # 如果长度为奇数，则中位数是位于中间位置的唯一元素。
    median = merged_nums[n // 2]

  return median


# 测试代码。
nums1 = [1, 3, 5, 7, 9]
nums2 = [2, 4, 6, 8, 10]
print(find_median(nums1, nums2))  # 输出：5.5