快速幂算法：玩转指数世界，轻松搞定LeetCode 50

人工智能

2024-01-25 03:30:02

导语

今天，我们开启LeetCode的第31篇探索之旅，将目光聚焦于第50题——求一个数的幂。乍看之下，这道题似乎平淡无奇，但隐藏在简短题意之下的，是计算机科学与数学交融的奥妙。

一、快速幂算法——高效求解指数运算

快速幂算法，顾名思义，是一种用于计算x的n次方的高效算法。它巧妙地利用了数学性质，以递归或迭代的方式，将原本复杂指数运算的计算量大幅降低。

1. 数学原理

快速幂算法基于以下数学原理：

**```
x^n = (x^(n/2))^2 (当n为偶数)
x^n = x * (x^(n-1)) (当n为奇数)


**2. 算法实现** 

快速幂算法的实现方式有两种：递归和迭代。

**（1）递归实现** 

递归实现是快速幂算法的经典实现方式，其伪代码如下：

**```
def fast_pow(x, n):
    if n == 0:
        return 1
    if n == 1:
        return x
    if n % 2 == 0:
        return fast_pow(x * x, n / 2)
    else:
        return x * fast_pow(x, n - 1)
```**

**（2）迭代实现** 

迭代实现是快速幂算法的一种变体，其伪代码如下：

**```
def fast_pow(x, n):
    result = 1
    while n > 0:
        if n % 2 == 1:
            result *= x
        x *= x
        n //= 2
    return result
```**

**二、算法应用场景** 

快速幂算法在计算机科学中有着广泛的应用，其中包括：

**1. 密码学** 

快速幂算法是密码学中常用的算法之一，用于计算公钥加密和数字签名的指数运算。

**2. 图论** 

快速幂算法可用于计算图论中的路径长度和最短路径。

**3. 随机数生成** 

快速幂算法可用于生成伪随机数。

**4. 数论** 

快速幂算法可用于计算大整数的因式分解。

**三、LeetCode 50 题详解** 

LeetCode 50 题要求我们计算一个浮点数x的整数次方n。由于浮点数的范围非常大，因此直接计算x的n次方可能会导致溢出。

我们可以利用快速幂算法来解决这个问题。将问题分解为两步：

**1. 将n转换为二进制形式** 

例如，将n = 13转换为二进制形式为1101。

**2. 根据二进制形式，逐位计算x的幂** 

对于二进制形式中的每一位1，我们计算x的该位对应的幂。最后将这些幂相乘即可得到x的n次方。

**四、代码实现** 

```python
def fast_pow(x, n):
    if n == 0:
        return 1
    if n == 1:
        return x
    result = 1
    while n > 0:
        if n % 2 == 1:
            result *= x
        x *= x
        n //= 2
    return result

def myPow(x, n):
    if n < 0:
        x = 1 / x
        n = -n
    return fast_pow(x, n)