递推算法与递推套路：算法解题新境界

递推算法与递推套路（手撕算法篇）

追溯算法之源，离不开递推 二字。递推算法，顾名思义，即以自身为基础，推导出下一个结果的算法。它就像一条奔流不息的河流，每一滴水珠都与前一刻紧密相连，形成了连贯有序的演进链条。

与之相对应，递推套路 则是我们在面对递推问题时，总结出来的解决模板。它宛如一柄算法利刃，帮助我们快速切入问题的核心，攻克递推难关。

为了深入领会递推算法的奥秘，我们不妨从几个经典例题入手，循序渐进地探索递推套路。

斐波那契数列

斐波那契数列，一个令人着迷的数字序列，其递推关系式如下：

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

其中，F(0) = 0，F(1) = 1。

针对此递推关系，我们采用逐步推导 的套路，一步一步推导出数列的通项公式。

第一步： 明确递推关系。已知递推关系式 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，记其为式(1)。

第二步： 根据递推关系，列出数列前几项。依次带入式(1)，得到 F(0) = 0，F(1) = 1，F(2) = 1，F(3) = 2，F(4) = 3，F(5) = 5，...

第三步： 观察数列规律，寻找通项公式。根据前几项，不难发现数列每项均为前两项之和。因此，我们可以猜测数列的通项公式为：

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

第四步： 利用数学归纳法证明通项公式。假设对于任意正整数 k，F(k) = F(k-1) + F(k-2) 成立，证明对于 k+1 也成立。

第五步： 完成证明。根据递推关系式 F(k+1) = F(k) + F(k-1)，带入归纳假设，得到 F(k+1) = (F(k-1) + F(k-2)) + F(k-1) = F(k) + F(k-1) + F(k-2) = F(k+1)。

综上，我们得到了斐波那契数列的通项公式：

F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 F(0) = 0，F(1) = 1

最长公共子序列

另一个典型的递推问题是求两个字符串的最长公共子序列（LCS）。其递推套路如下：

第一步： 确定递推关系。考虑两个字符串 S 和 T，记其长度分别为 m 和 n。定义 f(i, j) 为 S 的前 i 个字符和 T 的前 j 个字符的最长公共子序列的长度。递推关系为：

f(i, j) = max(
    f(i-1, j),    // 忽略 S 中第 i 个字符
    f(i, j-1),    // 忽略 T 中第 j 个字符
    f(i-1, j-1) + 1 // 匹配 S 中第 i 个字符和 T 中第 j 个字符
)

其中，当 i = 0 或 j = 0 时，f(i, j) = 0。

第二步： 根据递推关系，填充动态规划表。从左上角开始，依次填充动态规划表，直到完成。

第三步： 获取结果。动态规划表的右下角的值 f(m, n) 即为 S 和 T 的最长公共子序列的长度。

第四步： 回溯求解。根据动态规划表，可以回溯求解最长公共子序列。

采用递推套路，我们高效地求解了最长公共子序列问题，展现了递推算法的强大威力。

结语

递推算法与递推套路相辅相成，为我们提供了解决复杂问题的有力工具。通过逐步推导、寻找规律、数学归纳法证明等技巧，我们可以深入理解递推算法的内在机理，解锁算法解题的新境界。

掌握递推套路，犹如身怀算法利刃，纵横算法江湖，所向披靡。但求算法之旅，永不停歇。