揭秘 LeetCode 5：征服最长回文子串，一步步剖析必胜之道

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2023-10-18 13:50:46

最长回文子串：动态规划详解

回文子串：什么是回文？

回文子串是一个字符串，无论从左到右还是从右到左读，都能得到相同的字符串。例如，“aba”和“aa”都是回文子串。回文子串是字符串算法中的一个经典概念，也是 LeetCode 第 5 题：“最长回文子串”的关键。

动态规划：逐层攻克复杂问题

动态规划是一种将大问题分解成小问题，逐步解决并最终解决大问题的强大算法技术。在解决 LeetCode 5 时，我们将使用动态规划来找出字符串中长度最大的回文子串。

LeetCode 5：解题步骤

1. 定义子问题和状态

子问题： 字符串 s 中长度为 n 的区间 [i, j] 的子串是否为回文子串？
状态： dp[i][j] = true，表示子串 [i, j] 是回文子串，否则为 false。

2. 初始化边界条件

对于长度为 1 的子串，dp[i][i] = true。
对于长度为 2 的子串，dp[i][i+1] = true 当且仅当 s[i] = s[i+1]。

3. 状态转移方程

当子串长度大于 2（j - i > 2）时，dp[i][j] 的计算需要考虑 s[i] 和 s[j] 的关系：
- 如果 s[i] = s[j]，则 dp[i][j] = dp[i+1][j-1]。
- 如果 s[i] ≠ s[j]，则 dp[i][j] = false。

4. 计算顺序

从长度为 1 的子串开始计算，逐步扩展到长度为 n 的子串。
对于每个长度为 n 的子串，从左到右逐个计算区间 [i, j] 的子串是否为回文子串。

示例代码

def longest_palindrome(s):
    n = len(s)
    dp = [[False] * n for _ in range(n)]

    # 初始化边界条件
    for i in range(n):
        dp[i][i] = True
    for i in range(n - 1):
        if s[i] == s[i + 1]:
            dp[i][i + 1] = True

    # 状态转移
    for length in range(3, n + 1):
        for i in range(n - length + 1):
            j = i + length - 1
            if s[i] == s[j]:
                dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1]

    # 找出最长回文子串的长度和起始位置
    max_length = 0
    start = 0
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if dp[i][j] and j - i + 1 > max_length:
                max_length = j - i + 1
                start = i

    return s[start:start + max_length]