深入剖析 3 的幂次方：探索 LeetCode 题解背后的数学奥秘

2024-01-27 12:31:46

在计算机科学的浩瀚领域中，算法犹如一把锋利的宝剑，斩断计算的荆棘，而 LeetCode 题解便是算法爱好者的试金石。今天，我们将共同探索 LeetCode 题解中一道颇具挑战性的问题：判断一个整数是否是 3 的幂次方。

3 的幂次方：数学之旅

想要理解判断 3 的幂次方的奥秘，我们首先需要对 3 的幂次方有一个清晰的认识。3 的幂次方是指可以表示为 3 的整数次幂的数。例如，3^0 = 1、3^1 = 3、3^2 = 9、3^3 = 27 都是 3 的幂次方。

从数学的角度来看，判断一个整数是否是 3 的幂次方，等价于判断这个整数是否可以表示为 3 的整数次幂的形式。换句话说，我们需要找到一个整数 x，使得 n = 3^x。

算法一：朴素循环

我们首先介绍一种朴素的循环算法来解决这个问题。这个算法的思路很简单，就是从 0 开始循环，不断地将 3 的幂次方与给定的整数 n 进行比较。如果某个 3 的幂次方等于 n，那么 n 就是 3 的幂次方，算法返回 true；否则，算法返回 false。

def isPowerOfThree(n):
    """
    :type n: int
    :rtype: bool
    """
    if n <= 0:
        return False

    x = 0
    while 3 ** x <= n:
        if 3 ** x == n:
            return True
        x += 1

    return False

算法二：位运算

除了朴素循环算法之外，我们还可以使用位运算来解决这个问题。位运算是一种非常高效的算法，它可以让我们通过对二进制位进行操作来解决各种问题。

在二进制表示中，3 的幂次方的特点是，除了最低位为 1 之外，其他位都是 0。因此，我们可以通过检查一个整数的二进制表示是否满足这个特点来判断它是否是 3 的幂次方。

def isPowerOfThree(n):
    """
    :type n: int
    :rtype: bool
    """
    if n <= 0:
        return False

    # 检查二进制表示中除了最低位为 1 之外，其他位是否都是 0
    return (n & (n - 1)) == 0 and n & 0x55555555 != 0