凑足总金额所需的硬币个数: 动态规划与动画演示

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2024-02-18 08:51:22

零钱兑换问题的动态规划解决方案

在我们的日常生活中，我们经常需要凑成某个总金额，这被称为零钱兑换问题。例如，我们需要用不同面额的硬币凑成 13 元，可以使用 1 元硬币 3 枚、5 元硬币 1 枚来凑成。

本篇文章将探讨使用动态规划解决零钱兑换问题的方案，并通过动画演示和 Python 代码实现来帮助你理解其原理。

问题概述

零钱兑换问题如下：

给定一个整数数组 coins，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount，表示总金额。

求解凑成总金额所需的最少硬币数。

如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，则返回 -1。

动态规划解决方案

动态规划是一种解决优化问题的常用方法，它将问题分解成一系列子问题，然后逐步解决这些子问题，最终得到整个问题的最优解。

对于零钱兑换问题，我们可以定义一个表格 dp，其中 dp[i] 表示凑成总金额 i 所需的最小硬币数。

我们首先将 dp[0] 设置为 0，因为凑成总金额 0 元不需要任何硬币。

然后，对于总金额 i > 0，我们可以考虑以下两种情况：

如果 coins 中没有面额为 i 的硬币，那么凑成总金额 i 所需的最小硬币数为 -1，因为没有任何一种硬币组合能组成总金额 i。
如果 coins 中有面额为 i 的硬币，那么凑成总金额 i 所需的最小硬币数可以表示为：

dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2], ..., dp[i - coins[j]]) + 1

其中，j 是 coins 中面额为 i 的硬币的索引。

这是因为，如果我们想要凑成总金额 i，我们可以使用以下两种方式：

使用面额为 i 的硬币凑成总金额 i。
使用面额小于 i 的硬币凑成总金额 i - 1、i - 2、...、i - coins[j]，然后加上一个面额为 i 的硬币。

我们选择这两种方式中所需的最少硬币数，加上 1，就是凑成总金额 i 所需的最小硬币数。

动画演示

为了帮助你更好地理解动态规划的解决方案，我们提供了一个动画演示：

动画演示链接

Python 代码实现

以下是如何使用 Python 实现动态规划解决方案的代码：

def coin_change(coins, amount):
  """
  计算凑成总金额所需的最小硬币数

  Args:
    coins (list): 不同面额的硬币
    amount (int): 总金额

  Returns:
    int: 最小硬币数
  """

  # 初始化表格
  dp = [float('inf')] * (amount + 1)
  dp[0] = 0

  # 遍历硬币面额
  for coin in coins:
    # 遍历总金额
    for i in range(coin, amount + 1):
      # 如果总金额大于或等于硬币面额
      if i >= coin:
        # 更新表格
        dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)

  # 返回凑成总金额所需的最小硬币数
  return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1