用数学视角审视KMP算法：优雅解构，掌控字符串之美

2023-10-01 08:28:54

KMP 算法：从数学角度审视字符串匹配之美

KMP 算法的简介

在算法的世界里，字符串匹配算法扮演着至关重要的角色。KMP 算法，全称 Knuth-Morris-Pratt 算法，便是其中一颗璀璨的明珠。KMP 算法以其巧妙的构造和高效的性能著称，广泛应用于文本搜索、模式识别等领域。

部分匹配表：KMP 算法的核心

KMP 算法的核心思想在于利用部分匹配表（Partial Match Table，简称 PMT）对模式串进行预处理，从而实现高效的字符串匹配。部分匹配表记录了模式串中每个前缀与自身重合的最长后缀的长度。

PMT[i] = length(longest proper suffix of P[1...i] that is also a prefix of P)

其中，P 代表模式串，PMT[i] 表示 P[1...i] 的部分匹配值。

失配函数：数学视角下的 KMP 算法

从数学的角度审视 KMP 算法，我们可以定义失配函数 f(i) 为模式串 P[1...i] 与待匹配串 T[1...j] 失配后，模式串 P 需要右移的步数，即：

f(i) = min{k | P[i-k+1...i] = T[j-k+1...j]}

其中，i<=j。

根据失配函数的定义，我们可以得到以下递推公式：

f(i) = PMT[i] if i <= PMT[j]
f(i) = f(PMT[j]) + 1 if i > PMT[j]

这个递推公式揭示了失配函数与部分匹配表之间的密切联系。利用这个递推公式，我们可以高效地计算失配函数，从而实现 KMP 算法。

数学之美：算法设计中的严谨与抽象

从数学的角度审视 KMP 算法，我们不仅可以深入理解算法的原理，还能领略数学在算法设计中的强大作用。数学的严谨性和抽象性，为算法设计提供了坚实的基础，使算法能够以简洁、高效的方式解决复杂的问题。

代码示例：Python 中的 KMP 算法实现

def kmp_search(pattern, text):
  """
  使用 KMP 算法在文本 text 中搜索模式 pattern。

  参数：
    pattern：要搜索的模式字符串。
    text：要搜索的文本字符串。

  返回：
    如果找到模式，返回模式在文本中首次出现的索引；否则返回 -1。
  """

  # 预处理，计算模式串的部分匹配表
  pmt = compute_pmt(pattern)

  # 匹配模式和文本
  i, j = 0, 0
  while i < len(text):
    if pattern[j] == text[i]:
      i += 1
      j += 1
      if j == len(pattern):
        return i - j
    else:
      if j > 0:
        j = pmt[j - 1]
      else:
        i += 1

  return -1

def compute_pmt(pattern):
  """
  计算模式串 pattern 的部分匹配表。

  参数：
    pattern：要计算部分匹配表的模式字符串。

  返回：
    pattern 的部分匹配表。
  """

  pmt = [0] * len(pattern)
  i, j = 1, 0
  while i < len(pattern):
    if pattern[i] == pattern[j]:
      pmt[i] = j + 1
      i += 1
      j += 1
    else:
      if j > 0:
        j = pmt[j - 1]
      else:
        pmt[i] = 0
        i += 1

  return pmt