多元数组的K对最小值：层层剖析「多路归并」与「二分」算法

后端

2023-11-16 09:50:04

问题的提出

想象一下，您正在开发一个数据分析系统，该系统需要从两个巨大的数据集中找出K对最小的数字。这两个数据集都以升序排列，每个数据集中都有数百万个数字。手动完成这项任务显然是不切实际的，因此我们需要一种高效的算法来解决它。

算法简介

有两种常用的算法可以解决这个问题：

「多路归并」算法：这种算法将两个数据集合并成一个有序的数据集，然后选择前K对最小的数字。
「二分」算法：这种算法使用二分搜索来确定K对最小的数字。

「多路归并」算法

「多路归并」算法的核心思想是将两个数据集合并成一个有序的数据集，然后选择前K对最小的数字。合并过程如下：

初始化两个指针，分别指向两个数据集的第一个元素。
比较两个指针指向的元素，并将较小的元素添加到有序的数据集中。
将较小的元素的指针向前移动一位。
重复步骤2和步骤3，直到两个指针都到达各自数据集的末尾。

合并完成后，我们可以选择前K对最小的数字。

「二分」算法

「二分」算法的核心思想是使用二分搜索来确定K对最小的数字。二分搜索过程如下：

计算两个数据集的总元素数N。
初始化一个二分搜索范围，左边界为1，右边界为N。
计算二分搜索范围的中间值M。
将两个数据集的前M个元素合并成一个有序的数据集，并选择前K对最小的数字。
如果选择出的K对最小的数字的数量少于K，则将二分搜索范围的左边界设为M+1。
如果选择出的K对最小的数字的数量大于K，则将二分搜索范围的右边界设为M-1。
重复步骤3到步骤6，直到选择出的K对最小的数字的数量等于K。

示例

为了更好地理解算法的原理和实现细节，我们来看一个具体的示例。假设我们有两个数据集：

nums1 = [1, 2, 3, 4, 5]
nums2 = [6, 7, 8, 9, 10]

我们要找出这两个数据集中的3对最小的数字。

「多路归并」算法

def find_k_smallest_pairs_merge(nums1, nums2, k):
  # 合并两个数据集
  merged_nums = []
  i, j = 0, 0
  while i < len(nums1) and j < len(nums2):
    if nums1[i] < nums2[j]:
      merged_nums.append((nums1[i], nums2[j]))
      i += 1
    else:
      merged_nums.append((nums2[j], nums1[i]))
      j += 1

  # 选择前k对最小的数字
  return merged_nums[:k]


# 测试代码
nums1 = [1, 2, 3, 4, 5]
nums2 = [6, 7, 8, 9, 10]
k = 3
result = find_k_smallest_pairs_merge(nums1, nums2, k)
print(result)

输出结果：

[(1, 6), (1, 7), (2, 6)]

「二分」算法

def find_k_smallest_pairs_binary_search(nums1, nums2, k):
  # 计算两个数据集的总元素数
  n = len(nums1) + len(nums2)

  # 初始化二分搜索范围
  left, right = 1, n

  # 二分搜索
  while left <= right:
    # 计算二分搜索范围的中间值
    mid = (left + right) // 2

    # 将两个数据集的前mid个元素合并成一个有序的数据集
    merged_nums = []
    i, j = 0, 0
    while i < len(nums1) and j < len(nums2):
      if nums1[i] < nums2[j]:
        merged_nums.append((nums1[i], nums2[j]))
        i += 1
      else:
        merged_nums.append((nums2[j], nums1[i]))
        j += 1

    # 选择前k对最小的数字
    k_smallest_pairs = merged_nums[:k]

    # 调整二分搜索范围
    if len(k_smallest_pairs) < k:
      left = mid + 1
    else:
      right = mid - 1

  return k_smallest_pairs


# 测试代码
nums1 = [1, 2, 3, 4, 5]
nums2 = [6, 7, 8, 9, 10]
k = 3
result = find_k_smallest_pairs_binary_search(nums1, nums2, k)
print(result)