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2023-09-04 19:54:13

巧解 LeetCode 1406：动态规划助力博弈论

前言

博弈论在计算机科学中有着广泛的应用，而 LeetCode 1406 则是考察博弈论的一道经典题目。本文将深入解析这道题，带领大家一步步领悟动态规划的奥秘，从而轻松破解博弈论难题。

题目简介

在 LeetCode 1406 中，我们给定一个数组，其中包含一系列整数。两位玩家 Alice 和 Bob 轮流从数组中取元素，每次可以取 1、2 或 3 个元素，并将其对应的值累加到自己的总和中。先手玩家为 Alice，最终谁获得的总和更大，谁就获胜。如果总和相等，则 Bob 获胜。

动态规划解法

这道题的关键在于动态规划，即通过逐步求解子问题，最终得到整个问题的最优解。

我们定义 dp[i] 为从数组下标 i 到数组末尾的元素所能获得的最大总和。

对于 Alice 而言，她会优先取能让自己获得更大总和的子区间。因此，dp[i] 可以由以下三种情况得到：

取前 1 个元素：dp[i] = max(dp[i + 1], dp[i + 2], dp[i + 3])
取前 2 个元素：dp[i] = max(dp[i + 2], dp[i + 3], dp[i + 4]) + arr[i]
取前 3 个元素：dp[i] = max(dp[i + 3], dp[i + 4], dp[i + 5]) + arr[i] + arr[i + 1]

对于 Bob 而言，他希望自己的总和尽可能小，让 Alice 无法超越。因此，dp[i] 可以由以下三种情况得到：

取前 1 个元素：dp[i] = min(dp[i + 1], dp[i + 2], dp[i + 3])
取前 2 个元素：dp[i] = min(dp[i + 2], dp[i + 3], dp[i + 4]) - arr[i]
取前 3 个元素：dp[i] = min(dp[i + 3], dp[i + 4], dp[i + 5]) - arr[i] - arr[i + 1]

代码实现

def max_sum(arr):
    n = len(arr)
    dp = [0] * n
    dp[n - 1] = arr[n - 1]
    for i in range(n - 2, -1, -1):
        dp[i] = max(dp[i + 1], dp[i + 2], dp[i + 3]) + arr[i]
    return dp[0]

def min_sum(arr):
    n = len(arr)
    dp = [0] * n
    dp[n - 1] = arr[n - 1]
    for i in range(n - 2, -1, -1):
        dp[i] = min(dp[i + 1], dp[i + 2], dp[i + 3]) - arr[i]
    return dp[0]

arr = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
max_sum = max_sum(arr)
min_sum = min_sum(arr)
if max_sum > min_sum:
    print("Alice 获胜")
elif max_sum == min_sum:
    print("Bob 获胜")
else:
    print("Bob 获胜")