征服求职季利器：剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列征服之道

前端

2023-10-12 13:53:37

斐波那契数列：算法求职中的奥秘

斐波那契数列简介

斐波那契数列是一组自然数序列，后一个数等于前两个数之和。这个序列以数学家斐波那契的名字命名，他在 13 世纪首次了它。斐波那契数列在自然界和数学中都有广泛的应用，例如植物生长、生物形态和数字理论。

剑指 Offer 中的斐波那契数列问题

在剑指 Offer 这本经典算法面试题集中，求斐波那契数列的第 n 项是一个常见的问题。这个问题看似简单，但它为解决更复杂的算法问题提供了基础。

斐波那契数列的解题之道

求解斐波那契数列问题有多种方法，每种方法都有其优点和缺点：

1. 递归解法

递归是一种直接的解决方法，其中函数调用自身来计算斐波那契数列的第 n 项。这种方法简单易懂，但对于大 n 值会效率低下，因为它会产生指数级的递归调用。

public int fib(int n) {
    if (n <= 1) {
        return n;
    } else {
        return fib(n - 1) + fib(n - 2);
    }
}

2. 动态规划解法

动态规划是一种自顶向下的方法，它通过存储中间结果来避免重复计算。在斐波那契数列的情况下，我们可以创建一个数组，其中包含已经计算过的斐波那契数。这种方法比递归更有效，因为它只需要线性的时间复杂度。

public int fib(int n) {
    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}

3. 矩阵快速幂解法

矩阵快速幂是一种更高级的技术，它利用矩阵乘法的特性来优化递归解法。通过将斐波那契数列的递推关系表示为一个矩阵，我们可以使用快速幂算法来计算斐波那契数列的第 n 项，其时间复杂度为 O(log n)。

public int fib(int n) {
    int[][] base = {{1, 1}, {1, 0}};
    int[][] res = matrixPow(base, n);
    return res[0][0];
}

public int[][] matrixPow(int[][] m, int n) {
    int[][] ret = {{1, 0}, {0, 1}};
    while (n > 0) {
        if ((n & 1) != 0) {
            ret = matrixMultiply(ret, m);
        }
        m = matrixMultiply(m, m);
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}

public int[][] matrixMultiply(int[][] a, int[][] b) {
    int[][] c = new int[2][2];
    for (int i = 0; i < 2; i++) {
        for (int j = 0; j < 2; j++) {
            for (int k = 0; k < 2; k++) {
                c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
            }
        }
    }
    return c;
}