LeetCode-0338：比特位计算的巅峰攻坚术：动若脱兔，攻其不备

2023-10-19 04:16:32

突破困境，动态规划的锋利之刃

在探索 LeetCode-0338 的道路上，我们将携手动态规划，一种强大的算法策略，解开难题的奥秘。

public class Solution {
    public int[] countBits(int n) {
        int[] ans = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans[i] = ans[i / 2] + i % 2;
        }
        return ans;
    }
}

算法的流程妙不可言，让我们仔细拆解：

初始化数据结构：

int[] ans = new int[n + 1];

这个数组存储着从 0 到 n 的所有整数的二进制表示中 1 的个数。

递推求解：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    ans[i] = ans[i / 2] + i % 2;
}

我们从 1 开始逐个计算每个数字的 1 的个数。关键的递推公式在于：

如果 i 是偶数，那么 i 的 1 的个数等于 i / 2 的 1 的个数。
如果 i 是奇数，那么 i 的 1 的个数等于 i / 2 的 1 的个数加上 1。

返回结果：

最后，我们将数组 ans 返回作为最终结果。

算法的精髓：

动态规划的本质是利用子问题的重叠性来减少计算量。在本题中，子问题就是计算每个数字的 1 的个数。这些子问题相互重叠，因为计算一个数字的 1 的个数时，我们可以利用之前已经计算过的较小数字的 1 的个数。

算法的优点：

这种算法的时间复杂度为 O(n)，因为我们只需要遍历一次从 0 到 n 的所有整数。空间复杂度为 O(n)，因为我们需要存储数组 ans。

算法的改进：

如果我们注意到，对于任何数字 i，其 1 的个数最多为 i 本身的位数。因此，我们可以优化我们的算法，将数组 ans 的大小减少到 log(n) + 1。

public class Solution {
    public int[] countBits(int n) {
        int[] ans = new int[log(n) + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans[log(i) + 1] = ans[log(i)] + (i & 1);
        }
        return ans;
    }
}