线段树巧解 POJ 2985：揭秘整体第 K 大的奥秘

2023-09-28 05:33:18

导言

在算法竞赛的浩瀚领域中，线段树以其高效的区间操作能力而备受推崇。它是一种树形数据结构，能够存储和处理区间数据，并在 O(log n) 的时间复杂度内支持区间查询和更新。本文将深入剖析如何运用线段树巧妙解决 POJ 2985 这道经典算法题，揭秘快速求解整体第 K 大元素的奥秘。

问题陈述

POJ 2985 要求我们处理一组整数数组 A，并回答一系列查询。每个查询给定一个整数 K，要求我们找到数组 A 中整体第 K 大的元素。这里的整体第 K 大指的是，将数组 A 中所有元素按非递减顺序排列后，第 K 个元素的值。

线段树解法

求解整体第 K 大的传统方法通常涉及排序或优先队列。然而，线段树为我们提供了一种更巧妙、更有效率的解决方案。

线段树是一种分治算法，它将数组 A 划分为一系列区间，并为每个区间构建一颗平衡二叉树。通过维护每个区间的元素个数（size），我们可以快速求解区间第 K 大元素。

区间合并技巧

线段树的关键特性之一是区间合并。当合并两个相邻的区间时，我们可以将两个区间对应的 size 相加，得到合并后的区间的 size。这一特性为求解整体第 K 大提供了极大的便利。

算法流程

构建线段树，为数组 A 中每个区间维护 size 信息。
从根节点开始，通过区间合并依次向下遍历线段树。
在每个节点，检查左子树的 size 是否大于或等于 K。如果是，则进入左子树继续搜索。
否则，将 K 减去左子树的 size，进入右子树继续搜索。
重复步骤 3 和 4，直到找到包含整体第 K 大元素的区间。
返回该区间的最大值，即整体第 K 大元素。

代码示例

struct SegmentTree {
    vector<int> tree;

    SegmentTree(const vector<int>& arr) {
        int n = arr.size();
        tree.resize(4 * n);
        build(arr, 1, 0, n - 1);
    }

    void build(const vector<int>& arr, int node, int start, int end) {
        if (start == end) {
            tree[node] = 1;
            return;
        }

        int mid = (start + end) / 2;
        build(arr, 2 * node, start, mid);
        build(arr, 2 * node + 1, mid + 1, end);

        tree[node] = tree[2 * node] + tree[2 * node + 1];
    }

    int query(int node, int start, int end, int k) {
        if (start == end) {
            return start;
        }

        int mid = (start + end) / 2;
        int left_size = tree[2 * node];

        if (left_size >= k) {
            return query(2 * node, start, mid, k);
        } else {
            return query(2 * node + 1, mid + 1, end, k - left_size);
        }
    }
};

int main() {
    // 输入数组 A
    vector<int> arr;

    // 构建线段树
    SegmentTree tree(arr);

    // 处理查询
    int k;
    while (cin >> k) {
        // 查询整体第 K 大元素
        int result = tree.query(1, 0, arr.size() - 1, k);
        cout << result << endl;
    }

    return 0;
}