算法深入浅出：LeetCode #96 不同的二叉搜索树

2023-11-30 00:44:04

作为算法学习的必经之路，LeetCode 高频题始终备受关注，其中 #96 不同的二叉搜索树更是频频出现在面试中。本文将从递归到动态规划，深入浅出地解析这一经典问题，带你领略算法的魅力。

问题

给定一个整数 n，返回所有由 [1, n] 构成的不同的二叉搜索树的个数。

例如，当 n = 3 时，所有不同的二叉搜索树为：

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 /
   2     1         2             1

因此，n = 3 时共有 5 种不同的二叉搜索树。

递归法

一种求解此问题的常见方法是递归。我们知道，对于一个包含 n 个结点的二叉搜索树，其根结点可以取 [1, n] 中的任意一个值。对于每个根结点，其左子树包含根结点左边的所有结点，而其右子树包含根结点右边的所有结点。

基于此，我们可以递归地构造所有的二叉搜索树。对于根结点为 i 的二叉搜索树，其左子树包含 i - 1 个结点，而其右子树包含 n - i 个结点。我们分别递归地构造左子树和右子树，并将其组合起来，即可得到以 i 为根结点的二叉搜索树。

def numTrees(n):
  if n == 0:
    return 1

  total = 0
  for i in range(1, n + 1):
    left_trees = numTrees(i - 1)
    right_trees = numTrees(n - i)
    total += left_trees * right_trees

  return total

动态规划法

除了递归法之外，我们还可以使用动态规划来解决此问题。动态规划是一种自底向上的方法，它通过将问题分解成一系列子问题，并存储子问题的解，从而避免重复计算。

对于此问题，我们可以定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示由 [i, j] 构成的二叉搜索树的个数。显然，当 i == j 时，dp[i][j] = 1，因为只有一个结点构成的二叉搜索树只有一个。

对于 i < j 的情况，我们可以遍历所有可能的根结点 k。对于根结点为 k 的二叉搜索树，其左子树包含 k - 1 个结点，而其右子树包含 j - k 个结点。我们已经知道了由 [i, k - 1] 构成的二叉搜索树的个数 dp[i][k - 1]，以及由 [k + 1, j] 构成的二叉搜索树的个数 dp[k + 1][j]。因此，我们可以计算出以 k 为根结点的二叉搜索树的个数 dp[i][j] = dp[i][k - 1] * dp[k + 1][j]。

def numTrees(n):
  dp = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(n + 1)]

  for i in range(1, n + 1):
    dp[i][i] = 1

  for i in range(2, n + 1):
    for j in range(1, i + 1):
      for k in range(j, i + 1):
        dp[j][i] += dp[j][k - 1] * dp[k + 1][i]

  return dp[1][n]