为你揭开丑数的真面目：从生成原理到求解捷径！

见解分享

2024-01-04 06:11:20

在数字王国里，存在着一种独特的数字物种——丑数。它们身上只能带有 2、3、5 这三位质数的基因。而我们今天要探秘的，就是如何找到第 n 个丑数，这位丑数家族中的第 n 位成员。

丑数的诞生

丑数的生成原理并不复杂，它们就像搭积木一样，由这三位质数因子不断组合而成。以第 1 个丑数为例，它就是最朴素的 1，不含任何质因数。而第 2 个丑数则由 2 的质因数诞生，为 2。以此类推，丑数家族逐个诞生。

排序求解：直截了当

要找到第 n 个丑数，最直接的方法莫过于对所有丑数进行排序，然后从中找出第 n 位的成员。这就好比我们参加一场赛跑，要获得第 n 名，就得先把所有参赛选手按成绩排个序。

捷径寻数：效率飞扬

排序求解虽然直观，但效率却并不高。有没有什么捷径能让我们更快地找到第 n 个丑数呢？答案是肯定的！

想象一下，我们现在有三条流水线，每条流水线上都有一个丑数生成器，分别负责生成以 2、3、5 为质因子的丑数。每条流水线上的丑数都按从小到大的顺序排列。那么，要找到第 n 个丑数，我们就只需要从这三条流水线上各取一个丑数，然后比较它们的大小，找出最小的那个。这个最小的丑数，就是我们想要的第 n 个丑数。

为什么这个方法奏效呢？因为我们从每条流水线上取的丑数，都是这些流水线上未被选取的丑数中最小的。因此，这三个丑数中，必定有一个是最小的，也就是第 n 个丑数。

代码实现：清晰简洁

掌握了捷径原理，编写代码就是水到渠成的事了。我们只需要用一个数组来存储这三条流水线上的丑数，然后不断比较它们的大小，就能找到第 n 个丑数。

def nthUglyNumber(n):
    if n <= 0:
        return 0

    dp = [0] * n  # dp[i]表示第i个丑数

    # 初始化三条流水线上的丑数
    i2, i3, i5 = 0, 0, 0
    dp[0] = 1  # 第一个丑数为1

    # 循环得到第n个丑数
    for i in range(1, n):
        n2, n3, n5 = dp[i2] * 2, dp[i3] * 3, dp[i5] * 5
        dp[i] = min(n2, n3, n5)  # 取最小的丑数

        # 更新流水线上的丑数
        if dp[i] == n2:
            i2 += 1
        if dp[i] == n3:
            i3 += 1
        if dp[i] == n5:
            i5 += 1

    return dp[n - 1]