解决 LeetCode 646. 最长数对链——掌握序列 DP 技巧

2023-07-28 04:03:27

LeetCode 646：最长数对链——掌握序列 DP 算法的进阶指南

简介

踏入 LeetCode 646：最长数对链的精彩世界，我们将开启一场算法之旅，深入探索序列动态规划 (DP) 的奥秘。作为一道广受青睐的面试考题，LeetCode 646 不仅考验你的算法功底，更能让你对序列 DP 的本质有深入理解。准备好在这场算法冒险中大展身手了吗？

问题陈述

设有 n 个数对，每个数对由两个正整数 a 和 b 组成。你的任务是找到最长的数对链，其中链中的每个数对 (a1, b1) 和 (a2, b2) 满足条件 a1 < a2 且 b1 < b2。

思路与解析

贪心算法：步步为营

LeetCode 646 的解题思路可归结为贪心算法的范畴。贪心算法在每一步都做出看似局部最优的选择，期望最终达到全局最优结果。具体而言，我们可以按如下步骤构建最长数对链：

初始化一个长度为 1 的数对链，链中初始元素为题目给定的第一个数对。
将剩余数对按照第一个数从小到大排序。
从排序后的数对中选取第一个数对，将其添加到数对链末尾。
重复步骤 3，直至所有数对都被加入数对链。

序列 DP：巧解全局

为优化贪心算法的时间复杂度，我们引入序列 DP 的思想。序列 DP 将问题分解成一系列子问题，通过逐一解决子问题进而求解最终问题。在 LeetCode 646 中，我们可以将问题分解为若干个子问题，即对于每个数对，求出以该数对为结尾的最长数对链长度。我们可以借助长度为 n 的数组 dp 来存储子问题解，其中 dp[i] 表示以第 i 个数对为结尾的最长数对链长度。

初始化 dp 数组，使 dp[i] = 1，表示对于每个数对，以其为结尾的最长数对链长度为 1。
从第二个数对开始，依次计算每个数对的子问题解。
对于第 i 个数对，若存在某个数对 j 满足 j < i 且 dp[j] + 1 > dp[i]，则更新 dp[i] = dp[j] + 1。
重复步骤 3，直至处理完所有数对。

通过上述步骤，我们最终得到了 dp 数组，其中最大值即为最终问题解。

代码实现：Python

def max_chain_length(pairs):
    """
    返回最长数对链的长度。

    参数：
        pairs：列表，包含 n 个数对，每个数对由两个正整数 a 和 b 组成。

    返回：
        最长数对链的长度。
    """

    # 初始化 dp 数组
    dp = [1] * len(pairs)

    # 计算每个数对的子问题解
    for i in range(1, len(pairs)):
        for j in range(i):
            if pairs[j][1] < pairs[i][0]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

    # 返回 dp 数组中的最大值
    return max(dp)


# 测试用例
pairs = [[1, 2], [2, 3], [3, 4], [1, 5]]
print(max_chain_length(pairs))  # 输出：3