LeetCode 探索（一）：70_爬楼梯--一道经典的动态规划问题

2023-09-22 23:05:52




## LeetCode 探索（一）：70_爬楼梯--一道经典的动态规划问题

LeetCode 70_爬楼梯是一个经典的动态规划问题。该问题要求我们计算出爬到 n 阶楼梯的不同方法数。每次可以爬 1 或 2 个台阶。

### 问题分析

这个问题可以通过递归来解决。但是，递归的复杂度是指数级的，当 n 较大时，递归将会超时。因此，我们需要使用动态规划来解决这个问题。

动态规划是一种自底向上的方法，它将问题分解成更小的子问题，然后逐个解决这些子问题，最终得到问题的整体解。

对于爬楼梯问题，我们可以将问题分解成以下子问题：

* 爬到第 1 阶楼梯的方法数为 1。
* 爬到第 2 阶楼梯的方法数为 2。
* 爬到第 n 阶楼梯的方法数等于爬到第 n-1 阶楼梯的方法数加上爬到第 n-2 阶楼梯的方法数。

### 动态规划实现

我们可以使用一个数组 `dp` 来存储爬到每阶楼梯的方法数。`dp[i]` 表示爬到第 i 阶楼梯的方法数。

```python
def climb_stairs(n):
  dp = [0] * (n + 1)
  dp[1] = 1
  dp[2] = 2
  for i in range(3, n + 1):
    dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
  return dp[n]

print(climb_stairs(4))

时间复杂度分析

动态规划算法的时间复杂度是 O(n)，其中 n 是楼梯的阶数。这是因为动态规划算法只需要遍历一遍楼梯，就可以计算出爬到每阶楼梯的方法数。

空间复杂度分析

动态规划算法的空间复杂度是 O(n)，其中 n 是楼梯的阶数。这是因为动态规划算法需要创建一个数组 dp 来存储爬到每阶楼梯的方法数。

扩展和变体

爬楼梯问题有很多扩展和变体。其中一个经典的变体是「走楼梯」。在「走楼梯」问题中，我们不仅可以爬楼梯，还可以走楼梯。走楼梯只能走一步。

我们可以使用动态规划来解决「走楼梯」问题。动态规划算法与爬楼梯问题的动态规划算法非常相似。唯一的区别是，在「走楼梯」问题中，我们需要在计算爬到第 i 阶楼梯的方法数时，加上走楼梯的方法数。

def walk_stairs(n):
  dp = [0] * (n + 1)
  dp[1] = 1
  dp[2] = 2
  for i in range(3, n + 1):
    dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + 1
  return dp[n]

print(walk_stairs(4))