破解数字谜团：巧用位运算寻踪 K 次出现的数字**

在算法的世界里，我们经常会遇到需要查找特定模式或规律的问题。其中一个常见的挑战是寻找一组数字中出现特定次数（K 次）的数字。传统的解决方案通常涉及循环和比较，但这里我们将采用一种更巧妙的方法——位运算。

位运算的奥秘

位运算是一组操作，作用于二进制表示的数字。这些操作包括：

• 按位与 (AND)： 逐位比较两个数字，只有当两个对应位都为 1 时才输出 1。
• 按位或 (OR)： 逐位比较两个数字，当至少有一个对应位为 1 时输出 1。
• 按位异或 (XOR)： 逐位比较两个数字，当两个对应位不同时输出 1。

算法原理

我们的算法基于这样一个观察：如果一个数字出现 K 次（K 为奇数），那么其二进制表示中第 K 位将为 1。这是因为每次出现都会翻转该位。

相反，如果一个数字出现偶数次，那么其二进制表示中第 K 位将为 0。这是因为偶数次翻转不会改变该位的值。

算法步骤

1. 初始化变量： 将变量 result 初始化为 0。这个变量将存储结果。
2. 循环遍历数字： 对于数组中的每个数字 num，执行以下步骤：
3. 异或运算： 将 result 与 num 进行按位异或运算。
4. 右移运算： 将 result 右移一位。
5. 检查进位： 如果 result 最低位（第 0 位）为 1，则将 result 与 num 进行按位或运算。
6. 重复步骤 2-5： 重复步骤 2-5，直到 result 为 0。

代码示例

def find_kth_occurence(nums, k):
    result = 0
    for num in nums:
        result ^= num
        result >>= 1
        if result & 1:
            result |= num
    return result

示例

考虑数组 nums = [3, 1, 2, 3, 4, 3, 5, 4, 3] 和 k = 3。

• 第一次循环：result = 3
• 第二次循环：result = 0
• 第三次循环：result = 2
• 第四次循环：result = 1
• 第五次循环：result = 3（进位）
• 第六次循环：result = 2
• 第七次循环：result = 0
• 第八次循环：result = 4
• 第九次循环：result = 3（进位）

因此，出现 3 次的数字是 3。

结论

使用位运算查找出现 K 次的数字是一种巧妙而高效的方法。它避免了循环和比较的开销，对于大数据量的场景非常有用。通过理解位运算的原理，我们可以开发出更具创新性和效率的算法来解决各种编程难题。