剖析时间复杂度为 O(log(m+n)) 的中位数查找算法

前端

2023-09-04 11:45:46

分而治之：揭秘高效中位数查找算法

在数据科学和统计学中，中位数是一个至关重要的统计量。中位数是将一组数据按从小到大排列后，位于中间位置的值。当数据集中有偶数个元素时，中位数是中间两个元素的平均值。

揭开算法的神秘面纱

为了在海量数据集中高效地查找中位数，计算机科学家们设计了一系列精妙的算法。其中一种广受赞誉的算法是基于分而治之 思想的算法，其时间复杂度为惊人的 O(log(m+n))。

分而治之的智慧

分而治之算法的核心思想是将一个复杂问题分解为多个更小的子问题。这些子问题可以独立解决，然后将它们的解决方案合并起来得到最终答案。

在中位数查找算法中，我们首先将两个有序数组合并为一个有序数组，称为合并数组。合并时，我们比较这两个数组的第一个元素，将较小的元素放入合并数组中。然后，依次比较剩余的元素，直到两个数组都为空。

接下来，我们根据合并数组的长度确定中位数。如果合并数组的长度为奇数，则中位数是合并数组中间位置的元素。如果合并数组的长度为偶数，则中位数是合并数组中间两个元素的平均值。

def find_median(nums1, nums2):
  """
  使用分而治之算法查找两个有序数组的中位数

  参数：
    nums1 (list): 第一个有序数组
    nums2 (list): 第二个有序数组

  返回：
    float: 中位数
  """

  # 合并两个数组
  merged_array = merge_arrays(nums1, nums2)

  # 获取合并数组的长度
  length = len(merged_array)

  # 根据长度确定中位数
  if length % 2 == 1:
    return merged_array[length // 2]
  else:
    return (merged_array[length // 2] + merged_array[length // 2 - 1]) / 2

def merge_arrays(nums1, nums2):
  """
  合并两个有序数组

  参数：
    nums1 (list): 第一个有序数组
    nums2 (list): 第二个有序数组

  返回：
    list: 合并后的有序数组
  """

  i = 0
  j = 0
  merged_array = []

  while i < len(nums1) and j < len(nums2):
    if nums1[i] < nums2[j]:
      merged_array.append(nums1[i])
      i += 1
    else:
      merged_array.append(nums2[j])
      j += 1

  # 添加剩余元素
  while i < len(nums1):
    merged_array.append(nums1[i])
    i += 1

  while j < len(nums2):
    merged_array.append(nums2[j])
    j += 1

  return merged_array