二次型优化：共轭梯度法解析与实战

2023-12-17 00:11:07

共轭梯度法：解决二次型优化问题的利器

什么是二次型优化问题？

在各种实际应用中，我们经常会遇到需要优化一个二次函数的问题。这些问题被称为二次型优化问题。它们具有以下形式：

f(x) = 1/2 x^T A x - b^T x + c

其中，A 是对称正定矩阵，b 是给定向量，c 是常数。

共轭梯度法的原理

共轭梯度法是一种求解二次型优化问题的迭代算法。它的核心思想是利用共轭向量的性质，在每次迭代中构造一个与前一次搜索方向共轭的新搜索方向。

共轭向量的特点是它们在 A 矩阵的内积为零。这使得共轭梯度法能够快速收敛到最优解。

算法步骤

共轭梯度法的算法步骤如下：

初始化：令 x0 = 0，g0 = -b，p0 = -g0。
迭代：
- 计算步长 αk = (g_k^T g_k) / (p_k^T A p_k)。
- 更新解：x_k+1 = x_k + αk p_k。
- 计算梯度：g_k+1 = -b + Ax_k+1。
- 计算因子：β_k = (g_k+1^T g_k+1) / (g_k^T g_k)。
- 更新搜索方向：p_k+1 = -g_k+1 + β_k p_k。
终止：当满足终止条件时，停止迭代。

实际应用

共轭梯度法在许多实际应用中都有着广泛的应用，包括：

线性方程组求解
机器学习中的参数估计
图像处理中的图像增强和降噪
经济学中的投资组合优化

代码示例

以下是用 Python 实现共轭梯度法的代码示例：

import numpy as np

def conjugate_gradient(A, b, tol=1e-6, max_iter=1000):
    """
    共轭梯度法求解二次型优化问题。

    参数：
        A: 对称正定矩阵
        b: 给定向量
        tol: 终止条件
        max_iter: 最大迭代次数

    返回：
        x: 最优解
    """

    # 初始化
    x = np.zeros_like(b)
    r = b - A @ x
    p = -r

    for i in range(max_iter):
        # 计算步长
        alpha = np.dot(r, r) / np.dot(p, A @ p)

        # 更新解
        x += alpha * p

        # 更新残差
        r -= alpha * A @ p

        # 计算因子
        beta = np.dot(r, r) / np.dot(p, A @ p)

        # 更新搜索方向
        p = -r + beta * p

        # 终止条件
        if np.linalg.norm(r) < tol:
            break

    return x