分治、记忆化搜索、动态规划：家财万贯，劫你无患

在动态规划的宝库中，198. 打家劫舍 算得上是入门必备的一道经典习题，它的解法由浅入深，将分治、记忆化搜索和动态规划三个重要思想巧妙结合，堪称算法之美。

故事的背景是这样的：有 N 家相邻的房屋排成一排，每家房屋中都藏有不同数额的财物。你是一位劫匪，计划对这 N 家房屋进行抢劫，但你必须遵守一个不成文的规定：相邻的房屋不能同时被抢劫，否则你就有被抓获的风险。

你的目标是，在不惊动任何人的情况下，抢劫这些房屋，并最大化你的收益。

分治：问题拆解，逐个击破

我们先从最简单的分治法入手。分治法的思想是将大问题分解成若干个小问题，分别求解这些小问题，然后再将它们的结果组合起来，从而得到大问题的解。

在打家劫舍问题中，我们可以将 N 家房屋划分为两组：第一组包含房屋 1 到 N-1，第二组包含房屋 2 到 N。那么，我们就可以先计算第一组房屋的最大收益，再计算第二组房屋的最大收益，最后将两个收益相加，即可得到整个问题的解。

这种分治法虽然简单，但它的时间复杂度却高达 O(2^N)，因为对于每一组房屋，我们都需要计算所有可能的抢劫方案，这显然是一个指数级的时间复杂度。

记忆化搜索：避免重复计算，节约时间

为了降低分治法的时间复杂度，我们可以引入记忆化搜索的思想。记忆化搜索的原理是，对于每一个子问题，我们只计算一次，并将计算结果存储起来。当我们再次遇到同样的子问题时，就可以直接从存储器中取出计算结果，而无需重新计算。

这样一来，分治法的时间复杂度就可以从 O(2^N) 降低到 O(N^2)，因为对于每一个子问题，我们只需要计算一次，而不用重复计算。

动态规划：状态转移，递推求解

记忆化搜索虽然可以降低分治法的时间复杂度，但它仍然不是最优解。因为记忆化搜索仍然需要为每一个子问题存储计算结果，这会消耗额外的空间。

为了进一步优化算法性能，我们可以引入动态规划的思想。动态规划的原理是，对于每一个子问题，我们只计算一次，并将计算结果存储起来。当我们再次遇到同样的子问题时，就可以直接从存储器中取出计算结果，而无需重新计算。

不同于记忆化搜索的是，动态规划通过使用状态转移方程来计算子问题的解，而无需将计算结果存储起来。这样一来，动态规划既可以避免重复计算，又可以节省空间，可谓一举两得。

状态压缩：空间优化，再上层楼

动态规划已经是一种非常高效的算法了，但是我们还可以更进一步，使用状态压缩来进一步优化算法性能。状态压缩的思想是，通过减少状态的数量来降低算法的空间复杂度。

在打家劫舍问题中，我们可以将状态定义为 (i, j)，其中 i 表示当前房屋的索引，j 表示是否抢劫了上一家房屋。那么，我们就可以将状态空间从 O(N^2) 压缩到 O(2)，因为对于每一个 i，我们只需要考虑是否抢劫了上一家房屋两种情况。

通过使用状态压缩，动态规划算法的空间复杂度就可以从 O(N^2) 降低到 O(2)，大大提高了算法的性能。

结语

通过对 198. 打家劫舍 问题的逐步剖析，我们学习了分治、记忆化搜索、动态规划和状态压缩这四种重要的算法思想。这四种思想在解决动态规划问题时经常被用到，掌握了它们，你就可以轻松应对各种动态规划问题。