LeetCode 120：用动态规划解决最小路径和问题，超越陈规挑战

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2023-11-14 01:47:19

在本文中，我们将详细介绍 LeetCode 120 题的解题思路和步骤，并提供示例代码，帮助您更深入地理解和掌握动态规划算法。

LeetCode 120：最小路径和

题目

给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请计算从左上角到右下角的最小路径和。

您可以通过以下方式移动：

向右移动一步。
向下移动一步。

示例：

输入：
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出：7
解释：最小的路径和是1 → 3 → 1 → 1 → 1，路径和为7。

解题思路

这个问题可以用动态规划来解决。令 dp[i][j] 表示从左上角到 (i, j) 的最小路径和。那么，我们可以使用以下动态规划方程来计算 dp[i][j]：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

其中，grid[i][j] 是网格中 (i, j) 处的数字。

核心的DP方程

dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) + grid[i][j]

处理边界条件

当 i = 0 或 j = 0 时，dp[i][j] 只有一种移动方式，即从左或从上移动过来。因此，我们可以使用以下公式来初始化 dp 数组：

dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]

第一行的处理方法

dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]

示例代码

def minPathSum(grid):
  """
  :type grid: List[List[int]]
  :rtype: int
  """
  m, n = len(grid), len(grid[0])
  dp = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(m)]

  # Initialize the first row
  for j in range(1, n):
    dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]

  # Initialize the first column
  for i in range(1, m):
    dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]

  # Fill the rest of the DP table
  for i in range(1, m):
    for j in range(1, n):
      dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

  return dp[m-1][n-1]