困局突围：二分图最大权匹配的KM算法剖析
2023-10-21 06:10:17
二分图最大权匹配：超越完美
踏入二分图最大权匹配的世界，你将发现算法的精妙与复杂交织，而 KM 算法就是其中一颗璀璨的明珠。然而，当你面临二分图不存在完美匹配的困境时，不要气馁，我将为你揭晓应对之道。
KM 算法的魅力与局限
KM 算法，又称匈牙利算法，是求解二分图最大权匹配的经典算法。它的简洁高效和优异性能，使其在二分图匹配算法家族中独占鳌头。其核心思想是通过构造增广路径，不断增大匹配权重，直至达到最大值。
然而，KM 算法有一个前提条件：二分图必须存在完美匹配。完美匹配是指二分图中每个顶点都恰好与另一个顶点匹配。如果二分图不存在完美匹配，KM 算法将无法直接求解最大权匹配。此时，你需要另辟蹊径。
突围困局的策略
面对二分图不存在完美匹配的难题，我们可以采用两种策略：
1. 转化为网络流问题
我们可以将二分图转换成一个网络流问题。在网络流问题中，每个顶点代表一个节点，每条边代表一条管道，每条边的权重代表管道可容纳的最大流量。通过求解网络流问题的最大流，即可得到二分图的最大权匹配。
2. 添加点和权重为 0 的边
我们可以添加一些点和权重为 0 的边，使得二分图变成一个赋权完全二分图。赋权完全二分图是指二分图中的每个顶点都与另一个顶点相连，且每条边的权重都非负。在赋权完全二分图中，我们可以使用 KM 算法直接求解最大权匹配。
实战演练：实例剖析
为了加深对二分图最大权匹配的理解，我们不妨通过一个实例来进行分析。
假设我们有一个二分图，其中左边有 5 个顶点，右边有 6 个顶点。边的权重如下：
1 2 3 4 5
2 4 6 8 10
3 6 9 12 15
4 8 12 16 20
5 10 15 20 25
在这个二分图中，不存在完美匹配。我们可以使用上述策略之一来求解最大权匹配。
1. 转化为网络流问题
我们将二分图转换成一个网络流问题。网络流图如下：
s -> 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> t
| | | | | |
v v v v v v
2 -> 1 -> 4 -> 5 -> 6 -> t
| | | | |
v v v v v
3 -> 1 -> 4 -> 5 -> 6 -> t
| | | | |
v v v v v
4 -> 1 -> 2 -> 3 -> 5 -> t
| | | | |
v v v v v
5 -> 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> t
在网络流图中，s 是源点，t 是汇点。每条边的权重与二分图中的权重相同。我们可以使用 Ford-Fulkerson 算法求解网络流问题的最大流。最大流即为二分图的最大权匹配。
2. 添加点和权重为 0 的边
我们也可以添加一个点和权重为 0 的边，使得二分图变成一个赋权完全二分图。赋权完全二分图如下：
1 2 3 4 5 6
2 4 6 8 10 0
3 6 9 12 15 0
4 8 12 16 20 0
5 10 15 20 25 0
0 0 0 0 0 0
在赋权完全二分图中，我们可以使用 KM 算法直接求解最大权匹配。最大权匹配为：
(1, 2)
(2, 4)
(3, 5)
(4, 6)
(5, 3)
最大权匹配的权重为 50。
总结
二分图最大权匹配的 KM 算法是一种经典算法，它在许多领域都有着广泛的应用。当二分图不存在完美匹配时，我们可以通过转化成网络流问题或添加点和权重为 0 的边来解决这个问题。希望这篇文章能为你带来启发，助你轻松应对二分图最大权匹配的挑战！
常见问题解答
- 什么是二分图？
二分图是一种特殊类型的图，其顶点可以被划分为两组，且图中每条边只连接这两组中不同的顶点。
- 什么是二分图的最大权匹配？
二分图的最大权匹配是指在二分图中，找到一组权重最大的匹配，其中匹配是指两组顶点之间的一对一对应关系。
- KM 算法如何求解二分图的最大权匹配？
KM 算法通过构造增广路径来不断增大匹配的权重，直到无法继续增大时，此时得到的匹配就是最大权匹配。
- 为什么 KM 算法不能直接求解不存在完美匹配的二分图的最大权匹配？
因为 KM 算法需要二分图存在完美匹配作为前提条件，如果二分图不存在完美匹配，KM 算法将无法正常工作。
- 如何求解不存在完美匹配的二分图的最大权匹配？
可以通过将二分图转换成网络流问题或添加点和权重为 0 的边来求解。
