以动态规划思维，轻松解开两道算法难题，踏上技术之道！

2023-12-01 21:33:45

动态规划初探：斐波纳契数列

斐波纳契数列是一个经典的数学序列，其定义如下：

F(n) = F(n-1) + F(n-2), n >= 2
F(0) = 0
F(1) = 1

不难发现，斐波纳契数列的每一个数都是前两个数的和。例如，F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2，依此类推。

如果我们试图通过递归的方式求解斐波纳契数列的第 n 个数，将会遇到一个性能问题：由于存在大量重复的子问题，导致递归调用会呈指数级增长。

为了解决这个问题，我们可以采用动态规划的方法。动态规划的思想是将问题分解为相互重叠的子问题，并通过重复利用解决方案来避免重复计算。

在斐波纳契数列的问题中，我们可以将子问题定义为求解第 n 个斐波纳契数。我们发现，第 n 个斐波纳契数的求解依赖于第 n-1 个和第 n-2 个斐波纳契数。因此，我们可以将问题分解为两个子问题：求解第 n-1 个和第 n-2 个斐波纳契数。

接下来，我们可以使用备忘录法来存储已经计算过的子问题的解决方案。这样，当我们再次遇到同样的子问题时，我们可以直接从备忘录中获取解决方案，而无需重新计算。

通过这种方法，我们可以显著减少计算量，并将斐波纳契数列的计算时间复杂度从指数级降低到线性级。

动态规划进阶：最长公共子序列

最长公共子序列（LCS）问题是另一个经典的动态规划问题。给定两个字符串 A 和 B，LCS 问题是寻找 A 和 B 的最长公共子序列，即同时出现在 A 和 B 中的最长字符串。

例如，给定字符串 A = "ABCDGH" 和 B = "AEDFHR"，LCS 为 "ADH"。

LCS 问题可以通过递归的方式求解。但是，由于存在大量重复的子问题，导致递归调用会呈指数级增长。

为了解决这个问题，我们可以采用动态规划的方法。动态规划的思想是将问题分解为相互重叠的子问题，并通过重复利用解决方案来避免重复计算。

在 LCS 问题中，我们可以将子问题定义为求解 A 和 B 的第 i 个和第 j 个字符的最长公共子序列。我们发现，A 和 B 的第 i 个和第 j 个字符的最长公共子序列的长度依赖于以下两种情况：

如果 A[i] = B[j]，则 A 和 B 的第 i 个和第 j 个字符的最长公共子序列的长度为 A 和 B 的第 i-1 个和第 j-1 个字符的最长公共子序列的长度加 1。
如果 A[i] ≠ B[j]，则 A 和 B 的第 i 个和第 j 个字符的最长公共子序列的长度为 A 和 B 的第 i 个和第 j-1 个字符的最长公共子序列的长度，或者 A 和 B 的第 i-1 个和第 j 个字符的最长公共子序列的长度，取较大的那个。

接下来，我们可以使用一个二维数组来存储 A 和 B 的每个子序列的最长公共子序列的长度。当我们遇到新的子问题时，我们可以直接从数组中获取解决方案，而无需重新计算。

通过这种方法，我们可以显著减少计算量，并将 LCS 问题的计算时间复杂度从指数级降低到多项式级。