直面动态规划之实训篇（一）——子序列系列之dp的状态如何定义

前言

在上一篇文章中，我们介绍了动态规划算法的基本原理。我们了解到，动态规划算法是一种用来解决优化问题的强大工具，它可以将一个大问题分解成一系列子问题，然后递归地求解这些子问题，最后得到大问题的最优解。

在本文中，我们将通过一些经典的子序列问题来学习如何定义动态规划数组的状态。我们还将讨论如何使用递归、记忆化搜索和迭代来求解动态规划问题，以及如何优化动态规划算法的空间复杂度。

子序列问题

子序列问题是指给定一个序列，求出其中所有不连续的子序列。子序列问题在计算机科学中有着广泛的应用，例如字符串匹配、最长公共子序列和编辑距离等。

子序列问题的特点是状态和选择不太好说，没有那么清晰。因此，我们在定义动态规划数组的状态时需要特别小心。

状态定义

动态规划数组的状态是指在解决问题过程中需要记录的信息。状态定义的好坏直接影响到动态规划算法的效率和正确性。

对于子序列问题，我们可以定义动态规划数组的状态为dp[i][j]，其中：

• i表示子序列的第一个元素在原序列中的位置
• j表示子序列的最后一个元素在原序列中的位置

dp[i][j]的值表示从i到j的子序列的最优解。

状态转移

动态规划算法的核心是状态转移方程。状态转移方程告诉我们如何根据子问题的最优解来计算大问题的最优解。

对于子序列问题，我们可以定义状态转移方程如下：

dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1], dp[i+1][j-1] + a[i] * a[j])

其中：

• dp[i+1][j]表示从i+1到j的子序列的最优解
• dp[i][j-1]表示从i到j-1的子序列的最优解
• dp[i+1][j-1] + a[i] * a[j]表示从i+1到j-1的子序列的最优解加上a[i] * a[j]

求解方法

我们可以使用递归、记忆化搜索和迭代来求解动态规划问题。

递归

递归是最简单的一种求解动态规划问题的方法。我们可以通过递归函数来计算子问题的最优解，然后根据状态转移方程来计算大问题的最优解。

记忆化搜索

记忆化搜索是一种优化递归算法的方法。我们可以将已经计算过的子问题的最优解存储在一个表中。当我们再次遇到相同的子问题时，我们可以直接从表中取出其最优解，而无需重新计算。

迭代

迭代是一种自底向上的求解动态规划问题的方法。我们可以从子问题的最优解开始，逐层计算大问题的最优解。

空间优化

动态规划算法通常需要大量