【切图仔的算法修炼之旅】LeetCode1991：找到数组中的中间位置

算法之美：用二分查找找到数组中的中间位置

算法的定义

算法是解决特定问题的一系列清晰且可重复的步骤。一个好的算法应该高效、可重复，并且能够在有限的时间和空间内完成任务。

二分查找算法

二分查找是一种高效的搜索算法，适用于已排序的数组。它将数组一分为二，然后根据目标值与中间值的大小关系，不断缩小搜索范围，直到找到目标值或数组为空。

找到数组中的中间位置

LeetCode上的1991题要求我们找到数组中最左边的中间位置。所谓中间位置，就是数组中等于目标值的所有元素的最左边界。我们可以使用二分查找算法来解决这个问题。

算法步骤

1. 初始化左右指针： 将左指针指向数组首元素，右指针指向数组末元素。
2. 计算中间位置： 将左右指针的平均值取整作为中间位置。
3. 比较中间值： 将中间值与目标值比较。如果相等，返回中间位置。
4. 调整指针： 如果中间值大于目标值，将右指针移到中间位置左侧；如果小于目标值，将左指针移到中间位置右侧。
5. 重复步骤2-4： 重复步骤2-4，直到找到目标值或数组为空。

代码示例

def find_middle_index(nums, target):
    """
    找到数组中最左边的中间位置

    Args:
        nums: 一个下标从 0 开始的整数数组
        target: 目标值

    Returns:
        最左边的中间位置，如果不存在则返回 -1
    """

    # 初始化左右指针
    left = 0
    right = len(nums) - 1

    # 循环查找中间位置
    while left <= right:
        # 计算中间位置
        mid = (left + right) // 2

        # 如果中间值等于目标值，则返回中间位置
        if nums[mid] == target:
            return mid

        # 如果目标值小于中间值，则将右指针移到中间位置的左侧
        elif nums[mid] > target:
            right = mid - 1

        # 如果目标值大于中间值，则将左指针移到中间位置的右侧
        else:
            left = mid + 1

    # 如果没有找到目标值，则返回 -1
    return -1

复杂度分析

二分查找算法的时间复杂度为O(log n)，其中n为数组的长度。这是因为在每次迭代中，数组的长度都会缩小一半。空间复杂度为O(1)，因为算法只使用了有限数量的变量。

算法的应用

算法在计算机科学领域有着广泛的应用，包括数据结构、排序、搜索、图论、算法设计和分析等。算法的学习和研究对于计算机科学专业的学生和从业者来说都是非常重要的。

常见问题解答

1. 为什么二分查找算法如此高效？
   因为二分查找算法可以将搜索范围在每次迭代中缩小一半。对于一个长度为n的数组，二分查找算法最多只需要log n次迭代就能找到目标值。

2. 二分查找算法只能用于已排序的数组吗？
   是的，二分查找算法要求数组必须是已排序的。

3. 如果数组中有多个等于目标值的值，二分查找算法返回哪个中间位置？
   二分查找算法返回最左边的中间位置。

4. 如果数组中不存在等于目标值的值，二分查找算法返回什么？
   二分查找算法返回-1。

5. 如何证明二分查找算法的时间复杂度为O(log n)？
   在每次迭代中，数组的长度都缩小一半。因此，算法最多只需要log n次迭代就能找到目标值。