漫步二叉树枝叶间，探寻通往终点的数字之径

2023-09-07 18:45:11

二叉树根节点到叶子节点的所有路径和

导语

在浩瀚的二叉树世界中，每一条蜿蜒的枝叶都诉说着一个动人的数字故事。从根节点启程，沿着树的脉络一路前行，直至抵达叶子的终点，数字相伴，共同谱写出一曲美妙的和声。

本文将带您踏上一段引人入胜的二叉树探索旅程。我们将深入剖析从根节点到叶节点的路径，揭示其中的数字之和奥秘。为了完成这项任务，我们将采用深度优先搜索的智慧，一步步解锁二叉树的数字之谜。

从根到叶的数字之和

首先，让我们来定义一下二叉树中从根节点到叶节点的路径和。对于一条路径而言，其和为沿途经过的所有节点上的数字之和。例如，在以下二叉树中：

          1
        /   \
       2     3
      / \   / \
     4   5 6   7

从根节点 1 出发，沿着左子树的路径前进，经过节点 2 和 4，最终到达叶节点 5。此路径的和为 1 + 2 + 4 + 5 = 12。同样地，我们可以计算出其他路径的和：

从根节点 1 出发，沿着右子树的路径前进，经过节点 3 和 7，最终到达叶节点 7。此路径的和为 1 + 3 + 7 = 11。

从根节点 1 出发，沿着右子树的路径前进，经过节点 3 和 6，最终到达叶节点 6。此路径的和为 1 + 3 + 6 = 10。

不难发现，二叉树中存在着多种从根节点到叶节点的路径，每一条路径都对应着一个独特的和。我们的目标就是找出所有的这些路径和。

深度优先搜索的探索之路

为了找到所有的路径和，我们将采用深度优先搜索（DFS）算法。DFS 是一种经典的树形结构搜索算法，它通过递归的方式遍历二叉树的每个节点，直到到达叶节点为止。在 DFS 的过程中，我们可以不断累加经过的节点上的数字，从而得到从根节点到当前节点的路径和。

下面，我们就来一步步分解 DFS 算法的具体步骤：

从根节点开始，将根节点的数字添加到路径和中。
如果当前节点是叶节点，则将路径和添加到结果集中。
否则，遍历当前节点的左右子节点，并分别进行 DFS 搜索。
在 DFS 搜索的过程中，将经过的节点上的数字添加到路径和中。
在 DFS 搜索结束后，将路径和从结果集中删除。

通过 DFS 的方式，我们可以遍历二叉树中的所有节点，并找到所有的从根节点到叶节点的路径和。

代码实现

为了更直观地理解 DFS 算法，我们将其转化为代码实现。以下是用 Python 实现的 DFS 算法：

def path_sum(root):
  """
  计算二叉树中从根节点到叶节点的所有路径和。

  Args:
    root: 二叉树的根节点。

  Returns:
    一个包含所有路径和的列表。
  """

  # 初始化结果集。
  result = []

  # 调用 DFS 函数来计算所有路径和。
  _dfs(root, 0, result)

  # 返回结果集。
  return result


def _dfs(node, current_sum, result):
  """
  深度优先搜索二叉树，计算从根节点到叶节点的所有路径和。

  Args:
    node: 当前节点。
    current_sum: 从根节点到当前节点的路径和。
    result: 结果集。
  """

  # 如果当前节点是叶节点，则将路径和添加到结果集中。
  if not node.left and not node.right:
    result.append(current_sum + node.val)
    return

  # 如果当前节点有左子节点，则进行 DFS 搜索。
  if node.left:
    _dfs(node.left, current_sum + node.val, result)

  # 如果当前节点有右子节点，则进行 DFS 搜索。
  if node.right:
    _dfs(node.right, current_sum + node.val, result)


# 测试代码。
root = TreeNode(1)
root.left = TreeNode(2)
root.right = TreeNode(3)
root.left.left = TreeNode(4)
root.left.right = TreeNode(5)
root.right.left = TreeNode(6)
root.right.right = TreeNode(7)

print(path_sum(root))  # [12, 11, 10]