动态规划解决最长子序列难题，巧解算法学习难关！

前端

2023-09-06 21:21:26

前言

算法学习是一场充满挑战的旅程，而最长子序列问题作为其中一道难题，往往让人望而生畏。今天，我们将利用动态规划法，轻松征服这道难题，并从中领略算法学习的魅力。

动态规划法简介

动态规划法是一种自底向上的解决问题的方法，它将复杂问题分解成更小的子问题，逐一解决并存储子问题的解决方案，最终得到整个问题的解决方案。动态规划法常用于解决最优化问题，如最长子序列问题。

最长子序列问题介绍

最长子序列问题是指给定一个序列，求出其最长的子序列。子序列是指原序列的元素按照顺序排列而成的新序列，但子序列可以不包含原序列的所有元素。

例如，对于序列[1, 2, 3, 4, 5]，其最长子序列为[1, 2, 3, 4, 5]，长度为5。而对于序列[1, 2, 3, 2, 1]，其最长子序列为[1, 2, 3]，长度为3。

动态规划法求解最长子序列问题

动态规划法求解最长子序列问题时，首先将序列的每个元素视为一个子问题，并定义子问题的最优解为子序列的长度。然后，从子序列的长度为1的情况开始，逐一解决子问题，并将子问题的最优解存储起来。最后，得到整个序列的最长子序列长度。

下面是动态规划法求解最长子序列问题的详细步骤：

定义子问题的最优解为子序列的长度。
从子序列的长度为1的情况开始，逐一解决子问题。
对于长度为k的子序列，其最优解等于长度为k-1的子序列的最优解加上该子序列的最后一个元素。
将长度为k的子序列的最优解存储起来。
重复步骤3和步骤4，直到求得整个序列的最长子序列长度。

算法实现

def longest_subsequence(sequence):
  """
  求解最长子序列问题。

  参数：
    sequence：给定的序列。

  返回：
    最长子序列的长度。
  """

  # 定义子问题的最优解为子序列的长度。
  dp = [1] * len(sequence)

  # 从子序列的长度为1的情况开始，逐一解决子问题。
  for i in range(1, len(sequence)):
    # 对于长度为i的子序列，其最优解等于长度为i-1的子序列的最优解加上该子序列的最后一个元素。
    for j in range(i):
      if sequence[i] > sequence[j]:
        dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

  # 返回最长子序列长度。
  return max(dp)


# 测试代码
sequence = [1, 2, 3, 4, 5]
result = longest_subsequence(sequence)
print(f"最长子序列长度：{result}")

复杂度分析

动态规划法求解最长子序列问题的复杂度为O(n^2)，其中n为序列的长度。这是因为对于长度为k的子序列，其最优解需要通过长度为k-1的子序列的最优解来计算，而长度为k-1的子序列的最优解又需要通过长度为k-2的子序列的最优解来计算，以此类推。因此，动态规划法求解最长子序列问题的总时间复杂度为O(n^2)。