差分数组：深入探索及其应用

后端

2023-10-09 10:27:04

一、定义与概念
差分数组本质上是一个与原数组大小相同的数组，记原数组为arr，差分数组为d，则：

当i等于0时，d[i]=arr[i]；
当i大于0时，d[i]=arr[i]-arr[i-1]，即原数组中相邻两个元素的差值。

这种定义使得差分数组具有独特的性质和优势，为各种算法优化和数据结构操作提供了可能性。

二、差分数组的性质

差分数组具有以下重要的性质：

累积和的维护
- 差分数组可以高效地维护原数组的累积和。对于给定的索引i，累积和等于差分数组的前i个元素的和。即sum(arr[0],arr[1],...,arr[i])=sum(d[0],d[1],...,d[i])。
子数组和的查询
- 给定两个索引l和r，子数组和sum(arr[l],arr[l+1],...,arr[r])可以通过差分数组高效计算。
快速更新
- 差分数组允许对原数组进行快速更新。当原数组的第i个元素发生变化时，只需更新差分数组的第i个元素，而无需更新整个数组。这使得差分数组非常适用于需要频繁更新的数据结构。
空间优化
- 差分数组通常比原数组占用更少的空间。这是因为差分数组中存储的是相邻元素的差值，而不是元素的实际值。因此，差分数组的总和通常小于原数组的总和。

三、差分数组的证明

差分数组的性质可以通过数学归纳法来证明。

定理1：累积和的维护

证明：

当i=0时，sum(arr[0],arr[1],...,arr[i])=arr[0]=d[0]=sum(d[0],d[1],...,d[i])。
假设定理对于i-1是成立的，即sum(arr[0],arr[1],...,arr[i-1])=sum(d[0],d[1],...,d[i-1]).
则sum(arr[0],arr[1],...,arr[i])=sum(arr[0],arr[1],...,arr[i-1])+arr[i]=sum(d[0],d[1],...,d[i-1])+d[i]。
根据差分数组的定义，d[i]=arr[i]-arr[i-1]，因此sum(arr[0],arr[1],...,arr[i])=sum(d[0],d[1],...,d[i-1])+(arr[i]-arr[i-1])。
整理可得sum(arr[0],arr[1],...,arr[i])=sum(d[0],d[1],...,d[i])，因此定理成立。

定理2：子数组和的查询

证明：

给定两个索引l和r，子数组和sum(arr[l],arr[l+1],...,arr[r])=sum(arr[0],arr[1],...,arr[r])-sum(arr[0],arr[1],...,arr[l-1]).
根据累积和的维护性质，sum(arr[0],arr[1],...,arr[r])=sum(d[0],d[1],...,d[r])。
同样，sum(arr[0],arr[1],...,arr[l-1])=sum(d[0],d[1],...,d[l-1]).
因此，子数组和sum(arr[l],arr[l+1],...,arr[r])=sum(d[0],d[1],...,d[r])-sum(d[0],d[1],...,d[l-1]).
由于差分数组的定义，sum(d[0],d[1],...,d[r])=arr[r]，sum(d[0],d[1],...,d[l-1])=arr[l-1]。
因此，子数组和sum(arr[l],arr[l+1],...,arr[r])=arr[r]-arr[l-1].

定理3：快速更新

证明：

当原数组的第i个元素发生变化时，只需更新差分数组的第i个元素，即d[i]=arr[i]-arr[i-1]。
这不会影响差分数组的累积和维护、子数组和查询和其他性质。
因此，差分数组可以高效地更新原数组。

四、差分数组的代码实现

以下是用Python语言实现的差分数组：

class DiffArray:
    def __init__(self, arr):
        self.arr = arr
        self.d = [0] * len(arr)
        for i in range(1, len(arr)):
            self.d[i] = arr[i] - arr[i-1]

    def get(self, i):
        return self.arr[i]

    def update(self, i, val):
        self.arr[i] = val
        for j in range(i+1, len(arr)):
            self.d[j] += val - self.arr[j-1]

    def query(self, l, r):
        return self.arr[l] + sum(self.d[l+1:r+1])

该实现包括以下几个方法：

init(arr)__：构造函数，接收一个数组arr并创建差分数组d。
get(i)：获取数组arr中第i个元素的值。
update(i, val)：更新数组arr中第i个元素的值，并相应更新差分数组d。
query(l, r)：查询数组arr中从第l个元素到第r个元素的子数组和。

五、差分数组的巩固练习

给定一个数组arr，请使用差分数组计算从第l个元素到第r个元素的子数组和。
给定一个数组arr，请使用差分数组将第i个元素的值更新为val，并计算更新后的数组arr。
给定一个数组arr，请使用差分数组高效地维护最大值和最小值。
给定一个数组arr，请使用差分数组计算从第l个元素到第r个元素的子数组和的平方和。
给定一个数组arr，请使用差分数组设计一个算法，在O(n)时间内找到数组中所有连续子数组的和的最小值。

六、结论

差分数组是一种高效的数据结构，能够维护和更新数组元素，并支持高效的子数组和查询。它在动态规划、线段树、树状数组等算法中发挥着重要的作用。差分数组的性质和优势使得它在各种场景下都具有广泛的应用，例如累积和的维护、子数组和的查询、快速更新等。掌握差分数组的原理和实现可以帮助您更好地解决复杂的数据结构和算法问题。