从零开始——图实战入门指南

图论是计算机科学中一门重要的基础学科，广泛应用于各种领域，包括网络、社交网络、地图、电路等。图论研究的对象是图，图由点和边组成，点代表对象，边代表对象之间的关系。

本文将带你从零开始学习图论的基本概念，并通过一些经典的算法实例让你快速入门图论实战。在这场探索之旅中，你将了解图的构成、图的分类、图的表示方式、图的遍历与搜索算法、最短路径算法、最小生成树算法和拓扑排序算法等重要知识点。跟随我们一起走进图论的世界，开启精彩的旅程吧！

图的基本概念

1.1 图的构成

图由两个集合构成：点集V，边集E，二元定义为 G = (V，E)。

• 点集V ：点的集合，通常用V表示。
• 边集E ：边的集合，通常用E表示。

1.2 有向图和无向图

图分为：有向图，无向图。

• 无向图 ：每一条边都是双方向性的，( x, y ) 和 ( y, x ) 都在边集中。
• 有向图 ：每一条边都是单方向性的，( x, y ) 在边集中，但 ( y, x ) 不在边集中。

图的分类

图可以根据不同的标准进行分类，常见的有：

• 根据边的权重 ：无权图和有权图。
• 根据图的连通性 ：连通图和非连通图。
• 根据图的环路 ：无环图和有环图。

图的表示方式

图可以用多种方式表示，常见的有：

• 邻接矩阵 ：一个二维数组，其中每个元素表示两个点之间的边权重。
• 邻接表 ：一个由链表组成的数组，其中每个链表表示一个点的所有邻接点。
• 十字链表 ：一种特殊的邻接表，其中每个点都有一个头结点，每个邻接点都有一个指向头结点的指针。

图的遍历与搜索算法

图的遍历与搜索算法是图论中的基本算法，主要用于查找图中的所有点或边。常见的图的遍历与搜索算法包括：

• 深度优先搜索 ：从一个点出发，依次访问该点的所有邻接点，然后再访问邻接点的邻接点，以此类推，直到访问完所有点。
• 广度优先搜索 ：从一个点出发，依次访问该点的所有邻接点，然后访问邻接点的邻接点，以此类推，直到访问完所有点。

最短路径算法

最短路径算法是图论中的另一个重要算法，主要用于查找两个点之间的最短路径。常见的最短路径算法包括：

• Dijkstra算法 ：从一个点出发，依次访问该点的所有邻接点，并更新到这些点的最短路径，以此类推，直到访问完所有点。
• Floyd-Warshall算法 ：计算图中所有点对之间的最短路径，时间复杂度为O(V^3)。

最小生成树算法

最小生成树算法是图论中的另一个重要算法，主要用于查找图中的一棵生成树，使得这棵生成树的总权重最小。常见的最小生成树算法包括：

• Kruskal算法 ：从所有边中选择权重最小的边，将其加入生成树，然后依次选择权重最小的边，将其加入生成树，直到生成树包含所有点。
• Prim算法 ：从一个点出发，依次选择该点的权重最小的邻边，将其加入生成树，然后依次选择权重最小的邻边，将其加入生成树，直到生成树包含所有点。

拓扑排序算法

拓扑排序算法是图论中的另一个重要算法，主要用于查找有向无环图中的一