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巧解「图论最短路」问题，原地模拟，分分钟搞定「2304. 网格中的最小路径代价」
后端
2023-02-02 00:37:40
破解「2304. 网格中的最小路径代价」：探索最短路算法
图论最短路：奠定基础
踏入算法解谜的世界，我们首先要掌握「图论最短路」的基本概念。图论中，最短路问题就是寻求从一个顶点到另一个顶点的最短路径。而「迪杰斯特拉算法」和「贝尔曼-福德算法」正是解决此类问题的利器。
「2304. 网格中的最小路径代价」：题目解析
「2304. 网格中的最小路径代价」题目乍看之下，似乎只是要求我们找出从左上角走到右下角的最小代价路径。但实际上，这是一道披着「最短路」外衣的「动态规划」题目。我们无法直接套用图论最短路算法，因为题目中的网格结构并非标准的图论模型。
「图论最短路」解法：基于迪杰斯特拉算法
尽管如此，我们仍可以借助「图论最短路」中的「迪杰斯特拉算法」思想来解决问题。迪杰斯特拉算法的基本步骤如下：
- 初始化一个「距离」数组，记录从起点到每个顶点的最小距离。
- 将起点距离设为 0，其他顶点距离设为无穷大。
- 不断更新各个顶点的距离，直到找到终点。
「O(1) 空间的原地模拟」解法：巧妙的优化
上述「图论最短路」解法虽然可行，但时间复杂度较高。为了进一步优化，我们可以采用「O(1) 空间的原地模拟」解法。顾名思义，这种解法无需额外空间，直接在原网格上进行模拟：
- 设置一个变量「总代价」，记录从起点到当前位置的累计代价。
- 从起点出发，每次选择代价最小的方向移动，并更新「总代价」。
- 一直模拟，直到终点。
代码示例：
def min_path_cost(grid):
# 初始化「总代价」
cost = 0
# 模拟过程
for row in range(len(grid)):
for col in range(len(grid[0])):
# 选择代价最小的方向
if row + 1 < len(grid) and col + 1 < len(grid[0]):
cost += min(grid[row][col + 1], grid[row + 1][col])
elif row + 1 < len(grid):
cost += grid[row + 1][col]
else:
cost += grid[row][col + 1]
# 返回「总代价」
return cost
总结：从图论到动态规划
「2304. 网格中的最小路径代价」这道题目看似是一道「图论最短路」问题，但实际解法却需要运用「动态规划」的思想。通过「图论最短路」解法的铺垫，再结合「原地模拟」的巧妙优化，我们最终找到了问题的最佳解决方案。
常见问题解答：
-
为什么「O(1) 空间的原地模拟」解法比「图论最短路」解法更优？
- 「图论最短路」解法需要额外的空间存储「距离」数组，而「原地模拟」解法直接在原网格上进行操作，无需额外空间，从而降低了空间复杂度。
-
在哪些场景下「原地模拟」解法适用？
- 当问题规模较大，需要优化空间复杂度时，「原地模拟」解法非常适用。
-
如何选择「图论最短路」和「原地模拟」解法？
- 一般情况下，对于网格或矩阵等具有特定结构的问题，「原地模拟」解法更优。
-
除了「迪杰斯特拉算法」，还有哪些「图论最短路」算法？
- 其他常见的「图论最短路」算法包括「贝尔曼-福德算法」、「A* 算法」和「弗洛伊德-沃舍尔算法」。
-
「动态规划」在算法中扮演着什么角色？
- 「动态规划」是一种解决复杂问题的方法，它将问题分解成较小的子问题，并使用子问题的解决方案逐步求解整个问题。
