深入浅出信息熵和决策树 ID3 算法

了解事物需要信息的帮助。信息越多，我们对事物了解就越多，我们的好奇心也就越低。这是因为信息会改变我们对事物的不确定性和好奇心。如果我们 100% 确定某件事会发生，我们就不会认为它有什么新奇之处，因为我们对它的确定性很高。

信息熵衡量的是信息的不确定性或混乱程度。它是一个介于 0 到 1 之间的数字，其中 0 表示完全确定性，1 表示完全不确定性。信息熵越高，信息的不确定性越大。

信息熵的计算公式：

H(X) = -Σ(p(xi) * log2(p(xi)))

其中：

• H(X) 是随机变量 X 的信息熵
• p(xi) 是 X 取值为 xi 的概率
• log2 是以 2 为底的对数

决策树

决策树是一种分类或回归模型，它通过一系列决策将实例分配到不同类别。决策树由节点和分支组成。节点表示数据集中特定属性的值，而分支表示不同值的决策。

ID3 算法

ID3 算法是决策树学习中最常用的算法之一。它使用信息增益作为属性选择标准。信息增益衡量的是在将数据按属性值划分后，信息熵的减少量。

ID3 算法步骤：

1. 计算数据集的信息熵。
2. 计算每个属性的信息增益。
3. 选择信息增益最大的属性作为决策节点。
4. 按决策节点的属性值划分数据。
5. 对每个子数据集重复步骤 1-4，直到所有属性都用完或所有实例都属于同一个类别。

深度解析

信息熵

信息熵可以衡量一个随机变量的不确定性。例如，掷一枚公平硬币的结果是正面或反面，每个结果发生的概率都是 1/2。那么掷硬币的信息熵计算如下：

H(X) = -Σ(p(xi) * log2(p(xi)))
= -(1/2 * log2(1/2) + 1/2 * log2(1/2))
= 1

这意味着掷硬币的结果完全不确定，因为我们无法预测硬币会正面朝上还是反面朝上。

ID3 算法

ID3 算法通过计算信息增益来选择决策节点。信息增益衡量的是在将数据按属性值划分后，信息熵的减少量。

例如，假设我们有一个数据集，其中有三个属性：年龄、性别和收入。我们想根据这些属性预测一个人的职业。

使用 ID3 算法，我们首先计算数据集的信息熵。然后，我们计算每个属性的信息增益。

属性	信息增益
年龄	0.25
性别	0.15
收入	0.30

根据信息增益，我们选择收入作为决策节点。然后，我们按收入值划分数据，并对每个子数据集重复 ID3 算法，直到所有属性都用完或所有实例都属于同一个类别。

结论

信息熵和决策树是机器学习中重要的概念。信息熵衡量的是不确定性，而决策树是一种用于分类或回归任务的模型。ID3 算法是决策树学习中最常用的算法之一，它使用信息增益作为属性选择标准。