FFT原理及C++与MATLAB联合编译编程详解

FFT原理

傅里叶变换是一种数学工具，可以将信号从时域（或空域）变换到频域（或谱域）。离散傅里叶变换（DFT）是傅里叶变换的一种离散形式，它将连续信号离散化为离散序列，再应用傅里叶变换。快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，可以快速计算DFT，极大地提高了傅里叶变换的计算效率。

FFT推导

FFT算法是基于离散傅里叶变换（DFT）的。DFT的公式如下：

其中，x(n)是输入信号的离散序列，X(k)是输出信号的离散傅里叶变换结果，N是信号的长度。

FFT算法通过将DFT分解为多个较小的DFT来实现快速计算。具体步骤如下：

1. 将输入信号x(n)分成M个子序列，每个子序列的长度为N/M。
2. 对每个子序列应用DFT，得到M个中间结果X_m(k)，其中m=0, 1, \ldots, M-1。
3. 将中间结果X_m(k)组合成最终的DFT结果X(k)。

FFT算法的时间复杂度为O(N \log N)，远低于DFT算法的O(N^2)。因此，FFT算法在实际应用中具有很高的效率。

C++代码实现

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <complex>

using namespace std;

// 计算DFT
void DFT(complex<double>* x, complex<double>* X, int N) {
  for (int k = 0; k < N; k++) {
    X[k] = 0;
    for (int n = 0; n < N; n++) {
      X[k] += x[n] * exp(-j * 2 * M_PI * k * n / N);
    }
  }
}

// 计算IDFT
void IDFT(complex<double>* X, complex<double>* x, int N) {
  for (int n = 0; n < N; n++) {
    x[n] = 0;
    for (int k = 0; k < N; k++) {
      x[n] += X[k] * exp(j * 2 * M_PI * k * n / N);
    }
    x[n] /= N;
  }
}

// 计算FFT
void FFT(complex<double>* x, complex<double>* X, int N) {
  if (N == 1) {
    X[0] = x[0];
    return;
  }

  int M = N / 2;
  complex<double>* x1 = new complex<double>[M];
  complex<double>* x2 = new complex<double>[M];
  complex<double>* X1 = new complex<double>[M];
  complex<double>* X2 = new complex<double>[M];

  for (int n = 0; n < M; n++) {
    x1[n] = x[2 * n];
    x2[n] = x[2 * n + 1];
  }

  FFT(x1, X1, M);
  FFT(x2, X2, M);

  for (int k = 0; k < M; k++) {
    X[k] = X1[k] + exp(-j * 2 * M_PI * k / N) * X2[k];
    X[k + M] = X1[k] - exp(-j * 2 * M_PI * k / N) * X2[k];
  }

  delete[] x1;
  delete[] x2;
  delete[] X1;
  delete[] X2;
}

// 计算IFFT
void IFFT(complex<double>* X, complex<double>* x, int N) {
  FFT(X, x, N);

  for (int n = 0; n < N; n++) {
    x[n] = x[n] / N;
  }
}

int main() {
  // 输入信号
  int N = 8;
  complex<double>* x = new complex<double>[N];
  for (int n = 0; n < N; n++) {
    x[n] = 1;