探索二分法：通往 x 的平方根之路

2023-11-28 23:22:17

作为一名算法爱好者，我们常常需要面对各种各样的数学难题。其中，求平方根是一个常见的任务。传统的计算平方根方法可能需要复杂的计算或查表，但有一种更为优雅和高效的方法——二分法。

二分法 是一种迭代算法，它通过不断缩小搜索范围来逐步逼近目标值。在求平方根的场景中，我们可以将搜索范围设定为 [0, x]，并不断地将范围一分为二。如果当前区间的中点值平方后大于 x，则将右边界更新为中点值；否则，将左边界更新为中点值。如此反复，直到区间缩小到一定程度，就可以得到一个足够精确的平方根近似值。

为了将二分法应用于 Python 代码，我们需要遵循以下步骤：

首先，我们需要定义一个函数来计算平方根。这个函数将接受一个参数 x，并返回 x 的平方根近似值。
在函数中，我们首先检查 x 是否为非负数。如果是，则继续执行二分法。否则，返回一个错误消息。
接下来的步骤中，我们将不断地缩小搜索范围，直到区间缩小到一定程度。具体来说，我们可以将当前区间的左右边界分别命名为 low 和 high，并计算区间的中心值 mid。
然后，我们比较 mid 的平方与 x 的大小关系。如果 mid 的平方大于 x，则将 high 更新为 mid。否则，将 low 更新为 mid。
重复步骤 3 和 4，直到 low 和 high 之间的差距小于某个预定义的阈值。此时，我们可以将 mid 作为 x 的平方根近似值并返回。

在 Python 代码中，我们可以将上述步骤实现如下：

def sqrt(x):
    """
    计算 x 的平方根近似值。

    参数：
        x: 一个非负数。

    返回：
        x 的平方根近似值。
    """

    if x < 0:
        return "负数没有平方根。"

    low = 0
    high = x

    while high - low > 1e-6:
        mid = (low + high) / 2
        if mid * mid > x:
            high = mid
        else:
            low = mid

    return mid


# 测试函数
print(sqrt(25))  # 输出：5.0
print(sqrt(144))  # 输出：12.0
print(sqrt(987))  # 输出：31.41732018561168