跳出0-1背包怪圈：完全背包问题是如何征服动态规划的？

2023-01-21 11:08:52

理解完全背包问题：针对初学者的分步指南

什么是完全背包问题？

在计算机科学领域，背包问题是一类经典优化问题，它模拟了将一系列物品装入背包的情况，以最大化背包的总价值或总收益。完全背包问题与经典的0-1背包问题类似，但有一个关键的区别：在完全背包问题中，每种物品都可以选择无限次放入背包。这意味着你可以尽情地填满你的背包，只要不超过背包的容量。

理解完全背包问题的本质

为了理解完全背包问题，我们可以将它想象成一个现实生活中的场景。假设你要收拾行李去旅行，你的背包有一个有限的容量。你有很多物品可以选择，每件物品都有自己的重量和价值。你的目标是选择一组物品放入背包，使背包的总价值最大化，同时不超过背包的容量限制。

动态规划：解决完全背包问题的有力工具

解决完全背包问题的一种有效方法是使用动态规划。动态规划是一种自底向上的算法，将问题分解成更小的子问题，然后逐步解决这些子问题，最终得到问题的整体解。对于完全背包问题，动态规划算法使用一个二维表来存储状态，其中每个状态代表考虑了特定物品集合和背包特定容量下的最大价值。

完全背包问题的解题步骤

以下是解决完全背包问题的步骤：

1. 定义状态： 定义一个二维状态表 dp[i][j]，其中 i 表示当前考虑的物品，j 表示背包的当前容量。dp[i][j] 的值表示在考虑前 i 件物品的情况下，背包容量为 j 时，所能装入的最大总价值。

2. 状态转移方程： 状态转移方程为 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])，其中 w[i] 和 v[i] 分别表示第 i 件物品的重量和价值。

3. 初始条件： 对于完全背包问题，初始条件为 dp[0][j] = 0。

4. 边界条件： 对于完全背包问题，边界条件为 dp[i][0] = 0。

代码实现

以下是使用 Java 语言实现完全背包问题的代码示例：

public int completePack(int[] weight, int[] value, int capacity) {
    int n = weight.length;
    int[][] dp = new int[n + 1][capacity + 1];

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= capacity; j++) {
            if (j < weight[i - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            } else {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i - 1]] + value[i - 1]);
            }
        }
    }

    return dp[n][capacity];
}