巧妙破译 LeetCode 打家劫舍 III：动态规划寻宝之旅

LeetCode 打家劫舍 III：从零到专家的进阶指南

LeetCode 打家劫舍 III 是一个经典的动态规划问题，它考验着你的算法思维和编程技巧。在这篇文章中，我们将带领你从零开始，一步步掌握动态规划算法，并运用它来解决打家劫舍 III 的挑战。

动态规划算法：优化问题的万能钥匙

动态规划是一种强大的算法范式，它可以将复杂的问题分解成一系列较小的子问题，然后通过解决这些子问题，逐步找到整个问题的最优解。动态规划算法的精髓在于避免重复计算，通过存储子问题的解，使得后续子问题的求解更加高效。

解题思路：规划小偷的盗窃路线

在打家劫舍 III 中，小偷的目标是窃取尽可能多的财物，同时避免被抓获。因此，我们需要规划小偷的盗窃路线，使得他能够窃取最多的财物，同时降低被抓获的风险。

递归实现：直观但低效的解法

一种直接的解法是采用递归算法。我们可以定义一个函数 rob(root)，该函数返回以 root 为根节点的子树中，小偷可以窃取的最大财物价值。在函数的递归过程中，我们会考虑两种情况：窃取 root 节点的财物，或者不窃取 root 节点的财物。

def rob(root):
  if not root:
    return 0

  # 窃取 root 节点的财物
  rob_root = root.val
  if root.left:
    rob_root += rob(root.left.left) + rob(root.left.right)
  if root.right:
    rob_root += rob(root.right.left) + rob(root.right.right)

  # 不窃取 root 节点的财物
  not_rob_root = rob(root.left) + rob(root.right)

  # 返回两种情况中的最大值
  return max(rob_root, not_rob_root)

动态规划实现：高效且优化的解法

递归算法虽然直观，但存在重复计算的问题。为了提高算法的效率，我们可以采用动态规划算法。

在动态规划的实现中，我们将引入一个备忘录 memo，它将存储子问题的解。当我们第一次遇到一个子问题时，我们会计算它的解并存储在备忘录中。当我们再次遇到相同的子问题时，我们会直接从备忘录中读取它的解，而无需重复计算。

def rob(root):
  memo = {}

  def dfs(root):
    if not root:
      return 0

    # 查看备忘录中是否已经存在该子问题的解
    if root in memo:
      return memo[root]

    # 窃取 root 节点的财物
    rob_root = root.val
    if root.left:
      rob_root += dfs(root.left.left) + dfs(root.left.right)
    if root.right:
      rob_root += dfs(root.right.left) + dfs(root.right.right)

    # 不窃取 root 节点的财物
    not_rob_root = dfs(root.left) + dfs(root.right)

    # 将子问题的解存储在备忘录中
    memo[root] = max(rob_root, not_rob_root)

    # 返回两种情况中的最大值
    return memo[root]

  return dfs(root)

总结与提升：探索动态规划的广阔天地

通过对 LeetCode 打家劫舍 III 的求解，我们不仅掌握了动态规划算法的精髓，还领略了它的强大之处。动态规划算法在计算机科学中有着广泛的应用，它可以帮助我们解决许多复杂的问题，例如最长公共子序列、旅行推销员问题、背包问题等等。

如果你想进一步探索动态规划算法的奥秘，可以尝试以下几个建议：

• 阅读经典教材和论文，深入理解动态规划算法的原理和应用场景。
• 练习 LeetCode 上的其他动态规划问题，巩固你的算法思维。
• 尝试将动态规划算法应用到实际项目中，检验你的算法技能。

动态规划算法是一门精妙的艺术，它可以帮助你解决许多棘手的问题。希望这篇文章能为你打开动态规划算法的大门，让你在算法的世界中不断前行。