寻找有序数组的中位数：拆分查找法

见解分享

2023-09-15 23:44:03

在计算机科学中，寻找两个已排序数组的中位数是一个常见的任务。中位数是一个序列中中间元素的值，因此它可以帮助我们快速了解两个有序集合的相对大小和位置。

对于包含相等数量元素的两个有序数组，中位数是这两个数组中中间元素的平均值。然而，当数组大小不等时，计算中位数会变得更加复杂，需要使用不同的算法。

在本文中，我们将探讨使用二分查找和递归调用的方法来解决这一问题，从而优化算法的效率。我们将提供两种解法，一种时间复杂度为 O(m+n)，另一种时间复杂度为 O(log(m+n))。

算法 1：时间复杂度 O(m+n)

对于时间复杂度为 O(m+n) 的算法，我们首先合并两个数组，然后在合并后的数组中查找中位数。以下是如何执行此操作的步骤：

创建一个新数组 merged_array，它包含数组 arr1 和 arr2 的所有元素。
对 merged_array 进行排序。
计算 merged_array 的长度 n。
如果 n 为偶数，则中位数是 merged_array[n/2] 和 merged_array[n/2 - 1] 的平均值。
如果 n 为奇数，则中位数是 merged_array[n/2].

以下是用 Python 实现此算法的示例代码：

def find_median_of_sorted_arrays(arr1, arr2):
  """
  Finds the median of two sorted arrays.

  Parameters:
    arr1 (list): The first sorted array.
    arr2 (list): The second sorted array.

  Returns:
    float: The median of the two arrays.
  """

  merged_array = arr1 + arr2
  merged_array.sort()
  n = len(merged_array)

  if n % 2 == 0:
    median = (merged_array[n // 2] + merged_array[n // 2 - 1]) / 2
  else:
    median = merged_array[n // 2]

  return median

算法 2：时间复杂度 O(log(m+n))

对于时间复杂度为 O(log(m+n)) 的算法，我们使用二分查找来查找中位数。以下是如何执行此操作的步骤：

令 m 和 n 分别为数组 arr1 和 arr2 的长度。
如果 m + n 为奇数，则中位数是第 (m + n) // 2 个元素。
如果 m + n 为偶数，则中位数是第 (m + n) // 2 和第 (m + n) // 2 + 1 个元素的平均值。
使用二分查找在合并后的两个数组中找到第 k 个元素，其中 k 是第 (m + n) // 2 或 (m + n) // 2 + 1 个元素的索引。

以下是用 Python 实现此算法的示例代码：

def find_median_of_sorted_arrays(arr1, arr2):
  """
  Finds the median of two sorted arrays.

  Parameters:
    arr1 (list): The first sorted array.
    arr2 (list): The second sorted array.

  Returns:
    float: The median of the two arrays.
  """

  m, n = len(arr1), len(arr2)
  p1, p2 = 0, 0

  def get_min():
    nonlocal p1, p2
    if p1 < m and p2 < n:
      if arr1[p1] < arr2[p2]:
        min_element = arr1[p1]
        p1 += 1
      else:
        min_element = arr2[p2]
        p2 += 1
    elif p2 == n:
      min_element = arr1[p1]
      p1 += 1
    else:
      min_element = arr2[p2]
      p2 += 1
    return min_element

  if (m + n) % 2 == 0:
    for _ in range((m + n) // 2 - 1):
      _ = get_min()
    return (get_min() + get_min()) / 2
  else:
    for _ in range((m + n) // 2):
      _ = get_min()
    return get_min()