巧妙运用二进制枚举，攻克1601.最多可达成的换楼请求数目难题
2023-09-26 17:18:30
二进制枚举法：巧解 LeetCode 上的换楼请求问题
简介
在 LeetCode 上有一道经典的算法问题——1601. 最多可达成的换楼请求数目。这道题看似简单，但要高效地解决却需要巧妙的算法。本文将深入探讨这个问题，并介绍一种有效的解决方法——二进制枚举法。
问题
给定一个长度为 n 的整数数组 people 和一个整数 limit。数组 people 表示 n 个人在同一栋大楼的不同楼层，people[i] 是第 i 个人所在的楼层。limit 是允许进行换楼请求的最大次数。
换楼请求是指两个人交换他们在同一栋大楼中的楼层。每次换楼请求都必须满足以下条件：
- 两名参与换楼请求的人必须在不同的楼层。
- 两名参与换楼请求的人之间楼层的差值不得超过 limit。
求出在满足上述条件的情况下，最多可达成的换楼请求数目。
二进制枚举法的应用
为了高效地解决这个问题，我们可以运用二进制枚举法。二进制枚举法的核心思想是，将问题中的多个选项用二进制数来表示，然后通过枚举所有可能的二进制数来求解问题。
具体到本题中，我们可以将每一个人是否参与换楼请求用一个二进制位来表示。0 表示不参与，1 表示参与。这样，所有人的换楼请求情况就可以用一个二进制数来表示。
例如，当 n = 3 时，共有 3 个人。我们可以用一个 3 位二进制数来表示他们的换楼请求情况：
- 000 表示没有人参与换楼请求。
- 001 表示只有第一个人参与换楼请求。
- 010 表示只有第二个人参与换楼请求。
- 011 表示只有第一个人和第二个人参与换楼请求。
- 100 表示只有第三个人参与换楼请求。
- 101 表示只有第一个人和第三个人参与换楼请求。
- 110 表示只有第二个人和第三个人参与换楼请求。
- 111 表示所有人都参与换楼请求。
通过枚举所有可能的二进制数，我们可以求出所有可能换楼请求的情况。然后，我们只需计算每种情况下满足条件的换楼请求数目，并找出最大的那个即可。
代码实现
def max_requests(people, limit):
"""
:type people: List[int]
:type limit: int
:rtype: int
"""
n = len(people)
max_requests = 0
for mask in range(1 << n):
requests = 0
for i in range(n):
if (mask >> i) & 1:
for j in range(i + 1, n):
if (mask >> j) & 1 and abs(people[i] - people[j]) <= limit:
requests += 1
max_requests = max(max_requests, requests)
return max_requests
总结
二进制枚举法是一种强大的算法，可用于解决各种问题，包括 1601. 最多可达成的换楼请求数目。通过巧妙地将问题中的多个选项表示为二进制数，我们可以高效地枚举所有可能的选项并找到最佳解决方案。希望本文能帮助读者理解二进制枚举法在算法中的应用。
常见问题解答
-
什么是二进制枚举法？
答：二进制枚举法是一种算法，用于通过枚举所有可能的二进制数来求解问题。 -
为什么二进制枚举法适用于换楼请求问题？
答：因为我们可以将每个人的参与情况用二进制位来表示，然后通过枚举所有可能的二进制数来考虑所有可能的换楼请求情况。 -
二进制枚举法的优点是什么？
答：二进制枚举法是一种高效的算法，特别适用于选项较少的问题。 -
除了换楼请求问题，二进制枚举法还可以用于解决哪些其他问题？
答：二进制枚举法可用于解决各种问题，例如子集和问题、背包问题和排列问题。 -
如何提高二进制枚举法的效率？
答：一种方法是使用位运算来优化枚举过程。此外，还可以使用剪枝技术来减少枚举的搜索空间。
