算法新概念：揭秘丑数的奥秘

前端

2023-11-06 06:37:41

一、丑数的定义及性质

丑数是指仅包含因子2、3和5的正整数。换句话说，丑数一定是这些质数的乘积。丑数序列的前几个数字为：1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、16、18、20、24、...。

丑数具有以下几个性质：

1是一个丑数。
每个丑数都可以写成一个或多个质数2、3、5的乘积。
如果一个数是丑数，那么它的倍数也是丑数。

二、丑数的算法实现

求第n个丑数有两种主要算法：暴力求解法和动态规划法。

1. 暴力求解法

暴力求解法是一种朴素的算法，它是通过依次检查每个正整数是否满足丑数的条件来找到第n个丑数。算法如下：

def is_ugly(n):
    while n % 2 == 0:
        n //= 2
    while n % 3 == 0:
        n //= 3
    while n % 5 == 0:
        n //= 5
    return n == 1

def get_nth_ugly_number(n):
    ugly_numbers = [1]
    while len(ugly_numbers) < n:
        next_ugly_number = min(i * 2 for i in ugly_numbers)
        next_ugly_number = min(next_ugly_number, min(i * 3 for i in ugly_numbers))
        next_ugly_number = min(next_ugly_number, min(i * 5 for i in ugly_numbers))
        if not is_ugly(next_ugly_number):
            continue
        ugly_numbers.append(next_ugly_number)
    return ugly_numbers[-1]

2. 动态规划法

动态规划法是一种更高效的算法，它利用了丑数的性质来减少计算量。算法如下：

def get_nth_ugly_number(n):
    dp = [0] * n
    dp[0] = 1
    i2 = i3 = i5 = 0
    for i in range(1, n):
        dp[i] = min(dp[i2] * 2, dp[i3] * 3, dp[i5] * 5)
        if dp[i] == dp[i2] * 2:
            i2 += 1
        if dp[i] == dp[i3] * 3:
            i3 += 1
        if dp[i] == dp[i5] * 5:
            i5 += 1
    return dp[-1]