峰回路转：经典动态规划下的问题转化与优化——解构按摩师的收益策略

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2023-11-16 07:16:03

算法世界的柳暗花明：动态规划解析按摩师的收益策略

在算法的浩瀚世界中，动态规划犹如一盏指路的明灯，指引我们化繁为简，化解复杂问题。今天，我们将踏上一个算法之旅，以经典的“按摩师/打家劫舍”问题为例，深入探索动态规划的奥秘。

问题拆解：按摩师的收益两难

故事是这样的：有一位精明的按摩师，需要在有限的时间内最大化自己的收益。他可以接受或拒绝顾客的预约请求，但有个限制：他不能接受相邻的预约请求。这位按摩师该如何权衡利弊，制定最优的预约策略，以获得最多的收益呢？

动态规划：从子问题到全局最优

动态规划是一种巧妙的策略，它将复杂问题分解为一系列子问题，并以最优的方式逐步求解。在这个按摩师的问题中，我们可以将每个预约请求看作一个子问题。按摩师在当前预约请求处能获得的最大收益取决于他之前做出的决策，这就形成了一系列相互关联的子问题。

状态转移方程：收益递增的阶梯

为了建立子问题之间的递推关系，我们需要定义一个状态转移方程。这个方程揭示了按摩师在当前预约请求处能获得的最大收益如何根据他之前的选择而变化：

dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + profit[i])

其中：

dp[i] 表示在考虑前 i 个预约请求时，按摩师能获得的最大收益
dp[i-1] 表示在考虑前 i-1 个预约请求时，按摩师能获得的最大收益
dp[i-2] 表示在考虑前 i-2 个预约请求时，按摩师能获得的最大收益
profit[i] 表示接受第 i 个预约请求所获得的收益

滚动数组：空间优化的利器

在实际求解过程中，动态规划往往需要占用大量的空间来存储中间结果。为了提高效率，我们可以引入滚动数组的思想。滚动数组的精髓在于，它只保留当前状态和上一个状态的信息，而丢弃更早之前的信息。这样一来，我们可以用一个固定大小的数组来存储所有的中间结果，从而大大节省了空间。

代码实现：算法之美的结晶

有了动态规划的思路和滚动数组的优化，我们就可以将算法转化为代码。以下是Python语言的代码实现：

def max_profit(profits):
  """
  计算按摩师的最大收益

  Args:
    profits: 一个列表，其中包含每个预约请求的收益

  Returns:
    按摩师的最大收益
  """

  n = len(profits)
  dp = [0] * n

  for i in range(n):
    if i == 0:
      dp[i] = profits[i]
    elif i == 1:
      dp[i] = max(profits[i], profits[i-1])
    else:
      dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + profits[i])

  return dp[n-1]


if __name__ == "__main__":
  profits = [1, 2, 3, 1]
  print(max_profit(profits))  # 输出：4