逻辑回归模型：非线性分类任务案例

了解回归分析，您可以通过使用各种分类算法来解决各种机器学习问题。其中，逻辑回归模型作为一种广受欢迎的二分类模型，在实践中发挥着重要作用。

然而，在实际应用中，我们常常会遇到非线性可分的分类任务。在这种情况下，直接使用逻辑回归模型可能会导致分类结果不准确。为了解决这个问题，我们可以对自变量x的数据进行多项式特征扩展，扩展后的数据特征可以完成非线性分类任务。

1. 多项式特征扩展

多项式特征扩展是一种将原始特征映射到更高维度的特征空间的技术。通过这种方式，我们可以将非线性可分的数据转换为线性可分的数据，从而可以使用逻辑回归模型进行分类。

具体来说，多项式特征扩展可以将原始特征x_1, x_2, ..., x_n扩展为如下多项式特征：

其中，d为多项式的阶数。

2. 逻辑回归模型的训练

使用多项式特征扩展后的数据，我们可以使用逻辑回归模型进行训练。逻辑回归模型的训练目标是找到一组模型参数\beta_0, \beta_1, ..., \beta_d,使得逻辑回归函数

能够很好地拟合训练数据。

3. 逻辑回归模型的预测

训练完成后，我们可以使用逻辑回归模型对新的数据进行预测。对于一个新的数据样本x = (x_1, x_2, ..., x_n),其预测结果为：

如果\hat{y} > 0.5，则将该样本分类为正类；否则，将该样本分类为负类。

4. 案例：非线性分类任务

现在，让我们考虑一个非线性分类任务：将一组数据点分类为两类。这些数据点位于二维空间中，并且它们的分布如图所示。

如果我们使用线性回归模型对这些数据点进行分类，那么分类结果将如下图所示。

显然，线性回归模型无法很好地对这些数据点进行分类。这是因为这些数据点是非线性可分的。

现在，让我们使用多项式特征扩展将这些数据点映射到三维空间。然后，我们使用逻辑回归模型对这些扩展后的数据点进行分类。分类结果如下图所示。

可以看出，逻辑回归模型能够很好地对这些数据点进行分类。这是因为多项式特征扩展将这些数据点转换成了线性可分的数据。

5. 总结

通过这个案例，我们了解到逻辑回归模型可以用于解决非线性分类任务。通过对自变量x的数据进行多项式特征扩展，我们可以将非线性可分的数据转换为线性可分的数据，从而可以使用逻辑回归模型进行分类。