快速搞懂归并排序，理解分治思想，写出优雅代码

归并排序：分治统治，巧妙融合

分治统治：将难题拆分，逐个击破

归并排序采用分治统治的策略，将待排序序列不断拆分，直到每个子序列只有一个元素。由于子序列本身已经有序，我们只需逐步合并这些有序子序列，就能得到一个完全有序的序列。

递推公式：掌控有序序列的融合

归并排序的核心在于递推公式，它定义了如何将两个有序子序列合并成一个有序序列。这个公式可以表示为：

merge(A, p, q, r) {
  n1 = q - p + 1;
  n2 = r - q;
  L = new array[n1 + 1];
  R = new array[n2 + 1];
  for i = 1 to n1
    L[i] = A[p + i - 1];
  for j = 1 to n2
    R[j] = A[q + j];
  L[n1 + 1] = ∞;
  R[n2 + 1] = ∞;
  i = 1;
  j = 1;
  for k = p to r
    if L[i] ≤ R[j]
      A[k] = L[i];
      i = i + 1;
    else
      A[k] = R[j];
      j = j + 1;
}

递推公式首先定义两个新数组 L 和 R，分别存储左子序列和右子序列的元素，并在末尾添加一个正无穷大的元素，以简化比较。然后，使用两个指针 i 和 j 分别指向 L 和 R 的第一个元素，并逐一比较元素的大小。较小的元素被放入 A 数组，并更新对应的指针。这个过程持续到所有元素都被合并为一个有序序列。

merge() 合并函数：融合有序子序列的利器

merge() 函数是归并排序的核心，它负责合并两个有序子序列。该函数首先创建两个新数组 L 和 R，分别存储左子序列和右子序列的元素。然后，在 L 和 R 的末尾添加一个正无穷大的元素，以简化比较。

接下来，使用两个指针 i 和 j 分别指向 L 和 R 的第一个元素，并逐一比较元素的大小。较小的元素被放入 A 数组，并更新对应的指针。这个过程持续到所有元素都被合并为一个有序序列。

时间复杂度：O(n log n)，效率保障

归并排序的时间复杂度为 O(n log n)，这与快速排序相同。这是因为归并排序也是一种分治算法，它将问题分解成更小的子问题，然后递归地解决这些子问题，最后合并结果。

空间复杂度：O(n)，空间换取时间

归并排序的空间复杂度为 O(n)，这是因为在合并子序列时需要创建新的数组来存储合并后的结果。因此，归并排序在空间上的开销比快速排序要大。

算法效率：稳定且可靠

归并排序是一种稳定的排序算法，这意味着具有相同值的元素在排序后的顺序与排序前的顺序相同。此外，归并排序也是一种可靠的排序算法，它不会受到输入数据顺序的影响。

应用场景：大规模数据排序的利器

归并排序常用于对大规模数据进行排序，因为它具有稳定的排序特性和较低的辅助空间需求。在需要对海量数据进行排序时，归并排序是一个不错的选择。

结论：归并排序，分治思想的典范

归并排序是基于分治思想的经典排序算法，它采用递推公式和 merge() 函数来巧妙地合并有序子序列，从而获得最终的有序序列。归并排序的时间复杂度为 O(n log n)，空间复杂度为 O(n)，是一种稳定且可靠的排序算法，常用于对大规模数据进行排序。

常见问题解答

• 什么是归并排序？
  归并排序是一种基于分治统治的排序算法，它通过将序列拆分成更小的子序列，然后再逐步合并这些子序列来实现排序。

• 归并排序的时间复杂度是多少？
  归并排序的时间复杂度为 O(n log n)，这意味着随着序列长度的增加，排序时间呈对数增长。

• 归并排序是否稳定？
  是的，归并排序是一种稳定的排序算法，这意味着具有相同值的元素在排序后的顺序与排序前的顺序相同。

• 归并排序在什么情况下最有效？
  归并排序在对大规模数据进行排序时最有效，因为它具有稳定的排序特性和较低的辅助空间需求。

• 归并排序与快速排序有什么区别？
  归并排序和快速排序都是 O(n log n) 时间复杂度的排序算法，但归并排序是稳定的，而快速排序是不稳定的。此外，快速排序的平均空间复杂度为 O(1)，而归并排序的平均空间复杂度为 O(n)。