课程表 II：完成学习计划的最佳路径

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2024-01-06 19:57:29

序言

在知识的海洋中扬帆起航，我们时常会面临课程选择的难题。为了合理规划学习顺序，优化知识获取效率，掌握课程表的编制技巧至关重要。本文将深入剖析 LeetCode 210 题中的经典算法——课程表 II，带领你踏上制定最佳学习计划的探索之旅。

算法分析

关键概念：

有向无环图 (DAG)： 一种只能按一个方向行进的图形，没有闭合路径。
拓扑排序： DAG 中顶点的顺序排列，其中每个顶点都排在所有指向它的顶点之后。

算法步骤：

构造邻接表： 将课程依赖关系表示为邻接表，其中每个顶点代表一门课程，边代表课程之间的依赖关系。
计算入度： 对于每个顶点，计算其入度，即指向它的边数。
拓扑排序： 从入度为 0 的顶点开始，依次执行以下步骤：
- 将顶点从队列中移除。
- 对于指向该顶点的每个邻接顶点，将其入度减 1。
- 如果邻接顶点入度为 0，将其添加到队列中。
检查是否完成拓扑排序： 如果队列不为空，则无法完成拓扑排序，说明存在循环依赖关系。
输出拓扑排序结果： 拓扑排序结果即为最佳学习顺序。

代码实现

def findOrder(numCourses: int, prerequisites: List[List[int]]) -> List[int]:
    # 构造邻接表
    graph = defaultdict(list)
    for course, prereq in prerequisites:
        graph[prereq].append(course)

    # 计算入度
    in_degrees = [0] * numCourses
    for course in graph:
        for prereq in graph[course]:
            in_degrees[prereq] += 1

    # 拓扑排序
    queue = [course for course in range(numCourses) if in_degrees[course] == 0]
    result = []
    while queue:
        course = queue.pop(0)
        result.append(course)
        for next_course in graph[course]:
            in_degrees[next_course] -= 1
            if in_degrees[next_course] == 0:
                queue.append(next_course)

    # 检查是否完成拓扑排序
    if len(result) == numCourses:
        return result
    else:
        return []

实战演练

假设我们有 4 门课程，课程依赖关系如下：

0 -> 1
1 -> 2
2 -> 0

应用课程表 II 算法：

构造邻接表：

graph = {
    0: [1],
    1: [2],
    2: [0],
}

计算入度：

in_degrees = [1, 1, 1]

拓扑排序：

queue = [0]
result = []
while queue:
    course = queue.pop(0)
    result.append(course)
    for next_course in graph[course]:
        in_degrees[next_course] -= 1
        if in_degrees[next_course] == 0:
            queue.append(next_course)