[路飞]_每天刷leetcode_73：勇往直前，征服最大子数组和！

2023-11-17 01:12:46

引言：

欢迎来到《[路飞]_每天刷leetcode》的第73期，今天我们一起来解决leetcode上的一个经典问题——最大子数组和（Maximum Subarray）。这个问题要求我们在一个给定的整数数组中找到一个连续的子数组，使得子数组的和最大。

问题分析：

最大子数组和问题本质上是一个动态规划问题，我们可以通过动态规划来求解。在动态规划中，我们使用一个数组来记录子问题的最优解，然后使用这些最优解来计算当前子问题的最优解。

动态规划算法：

定义状态：对于数组nums中的每个子数组[i, j]，我们定义状态dp[i]为以第i个元素结尾的连续子数组的最大和。
状态转移方程：对于每个子数组[i, j]，我们可以使用状态转移方程dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])来计算dp[i]。
边界条件：对于数组nums中的第一个元素，dp[0] = nums[0]。
最终答案：最大子数组和等于max(dp[0], dp[1], ..., dp[n-1])。

贪心算法：

除了动态规划算法外，我们还可以使用贪心算法来求解最大子数组和问题。贪心算法的基本思想是，在每个步骤中，我们都做出当前最优的选择，并期望这些最优的选择最终能导致全局最优解。

在贪心算法中，我们从数组nums的第一个元素开始，然后依次考虑数组中的每个元素。对于每个元素，我们判断将其添加到当前子数组中是否会增加子数组的和。如果会，则将其添加到当前子数组中；否则，我们重新开始一个新的子数组。

代码实现：

def max_subarray_sum(nums):
  """
  计算给定数组的最大子数组和。

  参数：
    nums: 输入数组。

  返回：
    最大子数组和。
  """

  # 使用动态规划算法计算最大子数组和
  dp = [0] * len(nums)
  dp[0] = nums[0]
  for i in range(1, len(nums)):
    dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])

  # 返回最大子数组和
  return max(dp)


def max_subarray_sum_greedy(nums):
  """
  使用贪心算法计算给定数组的最大子数组和。

  参数：
    nums: 输入数组。

  返回：
    最大子数组和。
  """

  # 初始化当前子数组和和最大子数组和
  current_sum = 0
  max_sum = float('-inf')

  # 遍历数组中的每个元素
  for num in nums:
    # 将当前元素添加到当前子数组中
    current_sum += num

    # 如果当前子数组和大于最大子数组和，则更新最大子数组和
    if current_sum > max_sum:
      max_sum = current_sum

    # 如果当前子数组和小于0，则重新开始一个新的子数组
    if current_sum < 0:
      current_sum = 0

  # 返回最大子数组和
  return max_sum


# 测试代码
nums = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]
print("最大子数组和（动态规划）：", max_subarray_sum(nums))
print("最大子数组和（贪心算法）：", max_subarray_sum_greedy(nums))