剖析算法精髓，详解 Leetcode 69：x 的平方根

后端

2023-09-24 08:21:08

前言

在计算机科学领域，算法无处不在，它就像一把钥匙，帮助我们解决各种复杂的问题。而 Leetcode 69：x 的平方根这道题目，正是算法世界中一道闪耀的明珠，它不仅考察了我们的编程能力，更考验了我们对数学知识的理解和应用。

题目剖析

题目要求我们计算一个非负整数 x 的算术平方根。算术平方根，又称正平方根，是指一个非负实数，当它与自身相乘时，得到的结果等于给定的非负实数。

解题思路

解决这道题目，我们可以采用多种不同的方法。下面，我们将介绍其中两种最常用的解法：二分查找法和牛顿迭代法。

二分查找法

二分查找法是一种经典的搜索算法，它通过不断缩小搜索范围，快速找到目标元素。在求解平方根问题时，我们可以将搜索范围定义为 [0, x]，然后不断将搜索范围缩小一半，直到找到一个数，使得它的平方与 x 非常接近。

def sqrt_binary_search(x):
  """
  计算 x 的算术平方根，采用二分查找法。

  Args:
    x: 一个非负整数。

  Returns:
    x 的算术平方根。
  """

  # 初始化搜索范围。
  left = 0
  right = x

  # 不断缩小搜索范围，直到找到目标元素。
  while left <= right:
    # 计算中间值。
    mid = (left + right) // 2

    # 计算中间值的平方。
    square = mid * mid

    # 判断中间值是否等于目标元素。
    if square == x:
      return mid

    # 判断中间值的平方是否大于目标元素。
    elif square > x:
      # 将搜索范围缩小到 [left, mid - 1]。
      right = mid - 1

    # 判断中间值的平方是否小于目标元素。
    else:
      # 将搜索范围缩小到 [mid + 1, right]。
      left = mid + 1

  # 未找到目标元素，返回 -1。
  return -1

牛顿迭代法

牛顿迭代法是一种求解方程的数值方法，它通过不断逼近的方式，逐步找到方程的根。在求解平方根问题时，我们可以将方程定义为 x^2 - y = 0，其中 y 是目标元素。然后，我们可以采用牛顿迭代法不断逼近方程的根，直到找到一个值，使得 x^2 - y 非常接近于 0。

def sqrt_newton_iteration(x):
  """
  计算 x 的算术平方根，采用牛顿迭代法。

  Args:
    x: 一个非负整数。

  Returns:
    x 的算术平方根。
  """

  # 初始化猜测值。
  guess = x / 2

  # 不断逼近方程的根。
  while abs(guess * guess - x) > 1e-6:
    # 计算新的猜测值。
    guess = (guess + x / guess) / 2

  # 返回猜测值。
  return guess