从数学角度透析相关分析：机器学习中不可或缺的基础

相关分析，在机器学习领域犹如一颗璀璨明珠，为我们揭示变量之间的内在关联，指引着数据探索与模型构建的道路。然而，想要熟练掌握相关分析的数学基础，却需要我们深入理解其核心概念与计算方法。

一、相关分析概述

1. 什么叫相关分析？

相关分析是一种统计方法，用于衡量两个或多个变量之间的线性相关程度。它可以帮助我们发现变量之间是否存在关联，以及这种关联的强度和方向。

2. 相关系数：

相关分析的核心指标是相关系数，它量化了两个变量之间的线性相关程度。相关系数的取值范围为[-1, 1]：

• -1 表示完全负相关
• 0 表示无相关性
• 1 表示完全正相关

二、皮尔森相关系数

皮尔森相关系数（Pearson correlation coefficient）用于衡量连续变量之间的线性相关性。其计算公式如下：

r = cov(X, Y) / (σX * σY)

其中：

• r 为皮尔森相关系数
• cov(X, Y) 为 X 和 Y 的协方差
• σX 和 σY 分别为 X 和 Y 的标准差

1. 连续变量的相关分析

对于连续变量，我们可以直接计算皮尔森相关系数。以下示例展示了如何计算变量 X 和 Y 的相关系数：

import numpy as np

# 导入数据
X = [1, 2, 3, 4, 5]
Y = [2, 4, 6, 8, 10]

# 计算相关系数
r = np.corrcoef(X, Y)[0, 1]
print(r)

输出结果：

1.0

结果表明，变量 X 和 Y 具有完全正相关性。

2. 协方差：

协方差是衡量两个变量同时变化程度的指标。其计算公式如下：

cov(X, Y) = 1 / (n - 1) * Σ(Xi - X̄)(Yi - Ȳ)

其中：

• cov(X, Y) 为 X 和 Y 的协方差
• Xi 和 Yi 分别为 X 和 Y 的第 i 个观测值
• X̄ 和 Ȳ 分别为 X 和 Y 的均值
• n 为观测值的数量

3. 相关系数的显著性检验：

为了确定相关系数是否具有统计学意义，我们需要进行显著性检验。检验步骤如下：

• 计算相关系数 t 统计量
• 查阅 t 分布表，根据自由度和显著性水平确定临界值
• 如果 t 统计量绝对值大于临界值，则拒绝原假设（相关系数为 0）

三、斯皮尔曼等秩相关系数

斯皮尔曼秩相关系数（Spearman's rank correlation coefficient）用于衡量序数变量之间的线性相关性。其计算方法是先将变量转换为秩，然后再计算皮尔森相关系数。

以下示例展示了如何计算变量 X 和 Y 的斯皮尔曼秩相关系数：

import numpy as np

# 导入数据
X = [1, 2, 3, 4, 5]
Y = [2, 4, 6, 8, 10]

# 计算秩
X_ranks = np.argsort(np.argsort(X)) + 1
Y_ranks = np.argsort(np.argsort(Y)) + 1

# 计算相关系数
r = np.corrcoef(X_ranks, Y_ranks)[0, 1]
print(r)

输出结果：

1.0

结果表明，变量 X 和 Y 具有完全正相关性。

结语

相关分析是机器学习中不可或缺的基础，它可以帮助我们发现变量之间的内在关联，为数据探索与模型构建提供指导。通过理解皮尔森相关系数和斯皮尔曼秩相关系数的计算方法以及相关系数的显著性检验，我们可以熟练掌握相关分析的数学基础，为机器学习模型的构建和优化奠定坚实的基础。