二进制中 1 的计数：算法中的动态思维

前端

2023-11-04 18:55:32

前言

当我们踏入算法的殿堂时，动态规划的思想犹如一盏明灯，照亮着我们解决复杂问题的道路。它教会我们以一种系统化的方式将问题分解成更小的子问题，并通过复用计算结果来优化性能。

算法简单题：前 n 个数字二进制中 1 的个数

作为算法初学者的试金石，我们不妨从一个看似简单的题目入手：计算前 n 个数字二进制中 1 的个数。乍一看，这是一个直接的计数问题，但要找到一种高效的算法，动态规划的思维就显得尤为重要。

子问题：从 1 到 n 的二进制中 1 的个数

为了解决这个问题，我们首先将问题分解成更小的子问题：计算从 1 到 n 的每个数字二进制中 1 的个数。对于每个子问题，我们都可以采用以下步骤：

对于偶数 n ：如果 n 是偶数，那么 n 的二进制形式与 n/2 的二进制形式相同，只是少了一位最低位的 0。因此，从 1 到 n 的二进制中 1 的个数等于从 1 到 n/2 的二进制中 1 的个数。
对于奇数 n ：如果 n 是奇数，那么 n 的二进制形式与 n-1 的二进制形式相同，只是多了一位最低位的 1。因此，从 1 到 n 的二进制中 1 的个数等于从 1 到 n-1 的二进制中 1 的个数加上 1。

复用计算结果：动态规划的精髓

通过以上步骤，我们可以发现子问题之间存在重叠关系。例如，计算从 1 到 6 的二进制中 1 的个数时，需要用到从 1 到 3 的计算结果。动态规划的精髓就在于复用这些计算结果，避免重复计算。

递归实现：简洁高效的解法

基于动态规划的思想，我们可以使用递归来实现该算法：

int count_ones(int n) {
  if (n == 0) {
    return 0;
  }
  if (n % 2 == 0) {
    return count_ones(n / 2);
  } else {
    return count_ones(n - 1) + 1;
  }
}