轻松爬楼梯，动态规划之我见

动态规划，计算机科学中的一颗璀璨明珠，以其巧妙的思维和高效的求解著称。而爬楼梯问题正是动态规划的经典入门题，以其简洁直观、蕴含玄机的特点，广受算法爱好者的青睐。

动态规划的思维：化繁为简，分步解决

动态规划的精髓在于将一个大问题抽象为一系列小的具体表达式。以爬楼梯问题为例，我们只需考虑最后一项与前面一项或多项的关系。

设f(n)表示爬到第n级楼梯的不同走法数，则f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

为什么是这样呢？因为爬到第n级楼梯，要么从第n-1级上一步，要么从第n-2级上两步。因此，第n级楼梯的不同走法数等于前面两级楼梯的不同走法数之和。

递归的实现：简单直观，效率低劣

基于动态规划的思维，我们可以采用递归的方式求解爬楼梯问题。

def climb_stairs_recursive(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 2
    else:
        return climb_stairs_recursive(n-1) + climb_stairs_recursive(n-2)

这种方法虽然直观，但效率低下。因为对于第n级楼梯，递归函数会重复计算前面几级楼梯的不同走法数，导致时间复杂度指数级增长。

自顶向下备忘录：优化递归，存储结果

为了解决递归效率低下的问题，我们可以采用自顶向下的备忘录方法。即在递归过程中，将已经计算过的结果存储在一个数组中，避免重复计算。

def climb_stairs_memo(n):
    memo = [0] * (n + 1)
    return climb_stairs_memo_helper(n, memo)

def climb_stairs_memo_helper(n, memo):
    if n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 2
    else:
        if memo[n] != 0:
            return memo[n]
        else:
            memo[n] = climb_stairs_memo_helper(n-1, memo) + climb_stairs_memo_helper(n-2, memo)
            return memo[n]

自底向上迭代：高效优雅，空间节省

更进一步，我们可以采用自底向上的迭代方法求解爬楼梯问题，无需递归，也不需要备忘录。

def climb_stairs_iterative(n):
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[1] = 1
    dp[2] = 2
    for i in range(3, n + 1):
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    return dp[n]

自底向上的迭代方法从第1级楼梯开始，依次计算每级楼梯的不同走法数，最终得到第n级楼梯的不同走法数。这种方法时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)，是最优的求解方案。

结语

动态规划的思维模式和求解策略在算法设计中无处不在。爬楼梯问题虽小，却蕴含着动态规划的精髓，掌握其解题方法，将为你在算法学习的道路上铺平道路。

莫道算法难，吾辈重拳出击！以动态规划为武器，化繁为简，分步解决，定能勇攀算法高峰。