破解 LeetCode 213：环形打家劫舍的动态规划方案

引言

作为一名技术娴熟的窃贼，你盯上了沿街的一圈房屋，每间都藏有可观的财宝。然而，这些房屋可不是任你轻松偷窃的，它们相互连接着防盗系统，一旦触发就会警铃大作。面对这样的挑战，你将如何制定周密的计划，最大化你的战利品？

动态规划的妙用

破解环形打家劫舍难题的关键在于动态规划。动态规划是一种强大的算法技术，用于解决可以分解成更小重叠子问题的复杂问题。在本例中，我们可以将问题分解成两个子问题：

1. 抢劫首间房屋的最佳收益： 这需要考虑抢劫第一间房屋所能获得的收益，以及跳过第一间房屋继续抢劫后续房屋所能获得的收益。

2. 不抢劫首间房屋的最佳收益： 这涉及跳过第一间房屋，从第二间房屋开始抢劫，并计算所能获得的最大收益。

算法流程

根据上述子问题，我们可以设计一个动态规划算法：

1. 创建两个数组 dp1 和 dp2，长度为 n+1（n 为房屋总数）。

2. dp1[i] 表示抢劫前 i 间房屋（包括第 i 间）的最大收益。

3. dp2[i] 表示不抢劫第 i 间房屋（从第 i+1 间房屋开始抢劫）的最大收益。

4. 初始化 dp1[0] = 0 和 dp2[0] = 0，表示抢劫前 0 间房屋或不抢劫第 0 间房屋的收益均为 0。

5. 对于 i 从 1 到 n：

   • 计算 dp1[i] = max(dp2[i-1], dp1[i-2] + nums[i])
   • 计算 dp2[i] = max(dp1[i-1], dp2[i-2])

6. 最终，max(dp1[n], dp2[n]) 即为环形打家劫舍的最大收益。

代码示例（Python）

def rob(nums):
    n = len(nums)
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return nums[0]

    dp1 = [0] * (n+1)
    dp2 = [0] * (n+1)

    for i in range(1, n+1):
        dp1[i] = max(dp2[i-1], dp1[i-2] + nums[i])
        dp2[i] = max(dp1[i-1], dp2[i-2])

    return max(dp1[n], dp2[n])

结论

通过运用动态规划的思想，我们可以巧妙地解决环形打家劫舍问题。这种算法能够有效地计算在环形结构中抢劫房屋的最大收益，并提供了一个清晰而高效的解决方案。掌握了动态规划的技巧，你将能自信地应对各种类似的编程挑战，并在 LeetCode 中大放异彩。